Sejam as funções: psim=cos (m omega t) e psin=cos (n omega t). onde m, n in N com m neq n. Mostre que:
integral0^T psim psin d t=0

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: psim = cos(m omega t) e psin = cos(n omega t), onde m e n são números naturais diferentes ( m neq n). A tarefa é mostrar que a integral do produto dessas duas funções de 0 até T é igual a zero, ou seja:
integral0^T psim psin , dt = 0
Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de cossenos a somas de cossenos.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para multiplicar dois cossenos:
cos A cos B = 12 [cos(A + B) + cos(A - B)]
No nosso caso, A = m omega t e B = n omega t. Vamos aplicar essa identidade ao produto psim psin:
psim psin = cos(m omega t) cos(n omega t) = 12 [cos((m + n)omega t) + cos((m - n)omega t)]

Passo 3

Agora, substituímos essa expressão na integral que queremos avaliar:
integral0^T psim psin , dt = integral0^T 12 [cos((m + n)omega t) + cos((m - n)omega t)] , dt
Podemos fatorar a constante 12 para facilitar a integração:
12 integral0^T cos((m + n)omega t) + cos((m - n)omega t) , dt

Passo 4

Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de cos(k t) em relação a t é sin(k t)k. Aplicando isso:
12 [ sin((m + n)omega t)(m + n)omega + sin((m - n)omega t)(m - n)omega ] g|0^T

Passo 5

Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a T:
12 [ sin((m + n)omega T)(m + n)omega - sin(0)(m + n)omega + sin((m - n)omega T)(m - n)omega - sin(0)(m - n)omega ]
Como sin(0) = 0, os termos envolvendo sin(0) desaparecem:
12 [ sin((m + n)omega T)(m + n)omega + sin((m - n)omega T)(m - n)omega ]

Passo 6

Percebemos que se T for o período fundamental da função, ou seja, T = 2piomega, então:
(m + n)omega T = (m + n) cdot omega cdot 2piomega = 2pi(m + n)
E similarmente:
(m - n)omega T = 2pi(m - n)
Como sin(2pi k) = 0 para qualquer inteiro k, temos:
sin((m + n)omega T) = 0 e sin((m - n)omega T) = 0

Passo 7

Substituindo esses valores na expressão anterior:
12 [ 0(m + n)omega + 0(m - n)omega ] = 12 (0 + 0) = 0

Resposta

Portanto, mostramos que:
integral0^T psim psin , dt = 0

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