Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas funções: e , onde e são números naturais diferentes (). A tarefa é mostrar que a integral do produto dessas duas funções de até é igual a zero, ou seja:
Para resolver isso, vamos precisar usar uma identidade trigonométrica que relaciona o produto de cossenos a somas de cossenos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar de uma identidade trigonométrica útil para multiplicar dois cossenos:
No nosso caso, e . Vamos aplicar essa identidade ao produto :
Passo 3
Agora, substituímos essa expressão na integral que queremos avaliar:
Podemos fatorar a constante para facilitar a integração:
Passo 4
Vamos integrar cada termo separadamente. A integral de em relação a é . Aplicando isso:
Passo 5
Agora, vamos avaliar essa expressão nos limites de 0 a T: