Uma empresa monitora o lucro diário L(t), em milhares de reais, em função do número t de lotes produzidos por dia, com 0 \leq t \leq 50. O lucro é modelado por
L(t)=15+2 t-|t-20| .
A taxa de variação média de L entre dois valores t_{1} e t_{2}, com t_{1}<t_{2}, é dada por
\frac{L\left(t_{2}\right)-L\left(t_{1}\right)}{t_{2}-t_{1}} .
a. [0,5] Calcule a taxa de variação média de L para quaisquer t_{1}, t_{2} \in[0,20], com t_{1}<t_{2}.
b. [0,5] Calcule a taxa de variação média de L para quaisquer t_{1}, t_{2} \in[20,50], com t_{1}<t_{2}.
c. [0,5] Em qual faixa de produção o lucro varia menos? Justifique.

Passo 1

O enunciado dá a função lucro diário L(t) (em milhares de reais) em função do número de lotes t, com 0 \le t \le 50:
L(t)=15+2t-|t-20|.
Pede-se:
  • (a) Calcular a taxa de variação média de L para quaisquer t_{1},t_{2}\in[0,20] com t_{1}<t_{2}.
  • (b) Calcular a taxa de variação média de L para quaisquer t_{1},t_{2}\in[20,50] com t_{1}<t_{2}.
  • (c) Dizer em qual faixa de produção o lucro varia menos e justificar.
Informações relevantes anotadas:
  • A taxa de variação média entre t_{1} e t_{2} é dada por
\frac{L(t_{2})-L(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}.
  • A presença de |t-20| indica que L é uma função definida por partes (uma expressão para t\le 20 e outra para t\ge 20). A resolução precisa usar essas expressões em cada intervalo pedido.

Passo 2

Entender e simplificar |t-20| por partes (essa é a técnica-chave para funções com valor absoluto).
  • Para t\le 20 vale |t-20|=20-t.
  • Para t\ge 20 vale |t-20|=t-20.
Agora, calcule L(t) em cada caso substituindo o valor do valor absoluto.

Passo 3

Caso t\in[0,20]. Substituindo |t-20|=20-t em L(t):
L(t)=15+2t-(20-t).
Efetuando as operações dentro da fórmula:
L(t)=15+2t-20+t.
Agrupando termos semelhantes:
L(t)=(15-20)+(2t+t)=-5+3t.
Portanto, para todo t\in[0,20],
L(t)=-5+3t.
Observação didática: isso mostra que, naquele intervalo, L é uma função linear com coeficiente angular (declive) igual a 3. Para uma função linear da forma L(t)=at+b, a taxa de variação média entre dois pontos é sempre o coeficiente a (pois a diferença de L é a(t_2-t_1)).

Passo 4

Calcule agora a taxa de variação média para t_{1},t_{2}\in[0,20].
Usando a expressão linear L(t)=-5+3t,
L(t_{2})-L(t_{1}) = (-5+3t_{2}) - (-5+3t_{1}) = 3t_{2}-3t_{1} = 3(t_{2}-t_{1}).
Dividindo pela diferença t_{2}-t_{1} (positiva porque t_{2}>t_{1}):
\frac{L(t_{2})-L(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{3(t_{2}-t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=3.
Interpretação didática: a taxa de variação média é constante e igual a 3 (isto é, cada lote a mais aumenta o lucro em 3 milhares de reais, quando t está entre 0 e 20).

Passo 5

Caso t\in[20,50]. Substituindo |t-20|=t-20 em L(t):
L(t)=15+2t-(t-20).
Efetuando as operações:
L(t)=15+2t-t+20 = (15+20)+(2t-t)=35+t.
Portanto, para todo t\in[20,50],
L(t)=35+t.
Observação didática: aqui L também é linear nesse intervalo, com coeficiente angular 1.

Passo 6

Calcule a taxa de variação média para t_{1},t_{2}\in[20,50].
Usando L(t)=35+t,
L(t_{2})-L(t_{1})=(35+t_{2})-(35+t_{1})=t_{2}-t_{1}.
Dividindo por t_{2}-t_{1}:
\frac{L(t_{2})-L(t_{1})}{t_{2}-t_{1}}=\frac{t_{2}-t_{1}}{t_{2}-t_{1}}=1.
Interpretação didática: a taxa de variação média é constante e igual a 1 (cada lote a mais aumenta o lucro em 1 mil reais, quando t está entre 20 e 50).

Passo 7

Comparação e conclusão sobre onde o lucro varia menos (parte c).
  • Para t\in[0,20] a taxa de variação média é 3 (em milhares de reais por lote).
  • Para t\in[20,50] a taxa de variação média é 1 (em milhares de reais por lote).
Justificativa: a variação por unidade de t é menor onde o coeficiente angular é menor. Como 1<3, o lucro varia menos na faixa [20,50]. Num exemplo numérico rápido para intuir: aumentar t em 1 lote aumenta o lucro em 3 mil reais quando t<20, mas só em 1 mil real quando t>20; portanto a variação por lote é menor em [20,50].
Força aí — você já conseguiu entender a peça com valor absoluto e por que a média se reduz ao coeficiente nas partes lineares.

Resposta

a) \,3 (mil reais por lote)
b) \,1 (mil reais por lote)
c) O lucro varia menos em [20,50], pois a taxa de variação média é \,1, que é menor que \,3.

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