Uma empresa monitora o lucro diário
, em milhares de reais, em função do número
de lotes produzidos por dia, com
. O lucro é modelado por
A taxa de variação média de
entre dois valores
e
, com
, é dada por
a.
Calcule a taxa de variação média de
para quaisquer
, com
.
b.
Calcule a taxa de variação média de
para quaisquer
, com
.
c.
Em qual faixa de produção o lucro varia menos? Justifique.
b.
c.
Passo 1
O enunciado dá a função lucro diário
(em milhares de reais) em função do número de lotes
, com
:
Pede-se:
- (a) Calcular a taxa de variação média de
para quaisquer com . - (b) Calcular a taxa de variação média de
para quaisquer com . - (c) Dizer em qual faixa de produção o lucro varia menos e justificar.
Informações relevantes anotadas:
- A taxa de variação média entre
e é dada por
- A presença de
indica que é uma função definida por partes (uma expressão para e outra para ). A resolução precisa usar essas expressões em cada intervalo pedido.
Passo 2
Entender e simplificar
por partes (essa é a técnica-chave para funções com valor absoluto).
- Para
vale . - Para
vale .
Agora, calcule
em cada caso substituindo o valor do valor absoluto.
Passo 3
Caso
. Substituindo
em
:
Efetuando as operações dentro da fórmula:
Agrupando termos semelhantes:
Portanto, para todo
,
Observação didática: isso mostra que, naquele intervalo,
é uma função linear com coeficiente angular (declive) igual a
. Para uma função linear da forma
, a taxa de variação média entre dois pontos é sempre o coeficiente
(pois a diferença de
é
).
Passo 4
Calcule agora a taxa de variação média para
.
Usando a expressão linear ,
Usando a expressão linear
Dividindo pela diferença
(positiva porque
):
Interpretação didática: a taxa de variação média é constante e igual a
(isto é, cada lote a mais aumenta o lucro em
milhares de reais, quando
está entre
e
).
Passo 5
Caso
. Substituindo
em
:
Efetuando as operações:
Portanto, para todo
,
Observação didática: aqui
também é linear nesse intervalo, com coeficiente angular
.
Passo 6
Calcule a taxa de variação média para
.
Usando ,
Usando
Dividindo por
:
Interpretação didática: a taxa de variação média é constante e igual a
(cada lote a mais aumenta o lucro em
mil reais, quando
está entre
e
).
Passo 7
Comparação e conclusão sobre onde o lucro varia menos (parte c).
- Para
a taxa de variação média é (em milhares de reais por lote). - Para
a taxa de variação média é (em milhares de reais por lote).
Justificativa: a variação por unidade de
é menor onde o coeficiente angular é menor. Como
, o lucro varia menos na faixa
. Num exemplo numérico rápido para intuir: aumentar
em
lote aumenta o lucro em
mil reais quando
, mas só em
mil real quando
; portanto a variação por lote é menor em
.
Força aí — você já conseguiu entender a peça com valor absoluto e por que a média se reduz ao coeficiente nas partes lineares.
Resposta
a)
(mil reais por lote)
b) (mil reais por lote)
c) O lucro varia menos em , pois a taxa de variação média é
, que é menor que
.
b)
c) O lucro varia menos em