Utilizando a definição, mostre que
.
Passo 1
O enunciado pede que, utilizando a definição de limite (epsilôn-delta), se mostre que
Informações dadas:
- A função considerada é
. - O ponto de interesse é
. - O valor candidato do limite é
.
Passo 2
Vou recordar a definição precisa de limite que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
Definição (epsilôn-delta): dizer que
significa que
O que isso quer dizer em linguagem simples:
-
é um número pequeno que representa o quanto aceitamos que se afaste de . -
é um número pequeno que determina o quão perto de devemos tomar para garantir que fique dentro de de . - Para provar o limite, devemos, dado qualquer
arbitrário, apresentar uma escolha de em função de e mostrar a implicação requerida.
Passo 3
Vamos escrever a condição que precisamos controlar, substituindo
e
:
Agora simplifico a expressão dentro do valor absoluto:
Aqui usei fatoração:
e a propriedade
.
Passo 4
Queremos garantir que
. Pela igualdade anterior isso é equivalente a
ou seja
Portanto uma escolha natural é tomar
Verificação formal: seja
dado. Defina
(observe que
porque
). Se
, então
Isso mostra exatamente a implicação da definição epsilôn-delta.
Passo 5
Como mostramos que para todo
existe
que satisfaz a condição requerida, a definição de limite está satisfeita. Portanto o limite pedido está provado usando a definição.