Utilizando a definição, mostre que \lim _{x \rightarrow 4}(3 x-4)=8.

Passo 1

O enunciado pede que, utilizando a definição de limite (epsilôn-delta), se mostre que
\lim_{x\to 4}(3x-4)=8.
Informações dadas:
  • A função considerada é f(x)=3x-4.
  • O ponto de interesse é x\to 4.
  • O valor candidato do limite é L=8.

Passo 2

Vou recordar a definição precisa de limite que vamos usar e explicar o que cada símbolo significa.
Definição (epsilôn-delta): dizer que \lim_{x\to 4}f(x)=L significa que
\text{para todo }\varepsilon>0\\ \text{existe }\delta>0\\ \text{tal que, se }0<|x-4|<\delta,\\ \text{então }|f(x)-L|<\varepsilon.ã
O que isso quer dizer em linguagem simples:
  • \varepsilon é um número pequeno que representa o quanto aceitamos que f(x) se afaste de L.
  • \delta é um número pequeno que determina o quão perto de 4 devemos tomar x para garantir que f(x) fique dentro de \varepsilon de L.
  • Para provar o limite, devemos, dado qualquer \varepsilon>0 arbitrário, apresentar uma escolha de \delta>0 em função de \varepsilon e mostrar a implicação requerida.

Passo 3

Vamos escrever a condição que precisamos controlar, substituindo f(x)=3x-4 e L=8:
|f(x)-L| = |(3x-4)-8|.
Agora simplifico a expressão dentro do valor absoluto:
|(3x-4)-8| = |3x-12| = 3|x-4|.
Aqui usei fatoração: 3x-12=3(x-4) e a propriedade |3(x-4)|=3|x-4|.

Passo 4

Queremos garantir que |f(x)-L|<\varepsilon. Pela igualdade anterior isso é equivalente a
3|x-4|<\varepsilon,
ou seja
|x-4|<\frac{\varepsilon}{3}.
Portanto uma escolha natural é tomar
\delta=\frac{\varepsilon}{3}.
Verificação formal: seja \varepsilon>0 dado. Defina \delta=\varepsilon/3 (observe que \delta>0 porque \varepsilon>0). Se 0<|x-4|<\delta, então
|f(x)-L| = 3|x-4| < 3\delta = 3\cdot\frac{\varepsilon}{3} = \varepsilon.
Isso mostra exatamente a implicação da definição epsilôn-delta.

Passo 5

Como mostramos que para todo \varepsilon>0 existe \delta=\varepsilon/3>0 que satisfaz a condição requerida, a definição de limite está satisfeita. Portanto o limite pedido está provado usando a definição.

Resposta

8

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