Sejam $f$ e $g$ as funções reais definidas por

$f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x^{2}+4 x-5, & \text { se } x \geq-1, \\\\ 5 x+4, & \text { se } x<-1, \end{array} \quad g(x)=3 x+7\right.$

Obtenha as leis que definem $f \circ g$ e $g \circ f$ . ( 2,0 pontos)

O enunciado define

f\colon \mathbb{R}\to\mathbb{R}\) por \[f(x)= \begin{cases} 2x^{2}+4x-5, &\text{se }x\ge -1,\\\\ 5x+4, &\text{se }x< -1, \end{cases}

g(x)=3x+7\]. Queremos achar as regras de \((f\circ g)(x)=f\bigl(g(x)\bigr)

(g\circ f)(x)=g\bigl(f(x)\bigr)

Para

(f\circ g)(x)=f(3x+7)

precisamos saber quando o argumento

3x+7

f

está em cada ramo.
Resolvendo

3x+7\ge -1 \quad\Longleftrightarrow\quad 3x\ge -8 \quad\Longleftrightarrow\quad x\ge -\frac{8}{3},

e o caso complementar é

x<-\tfrac{8}{3}

Agora aplicamos cada ramo de

f

y=3x+7

2(9x^{2}+42x+49)+12x+28-5 =18x^{2}+84x+98+12x+23 =18x^{2}+96x+121.

Para

(g\circ f)(x)=3\,f(x)+7

, usamos os dois ramos de

f(x)

conforme

x\ge -1

x< -1

Aplicando

g(y)=3y+7

a cada caso de

f(x)

g(f(x))=3(2x^{2}+4x-5)+7 =6x^{2}+12x-15+7 =6x^{2}+12x-8.

g(f(x))=3(5x+4)+7 =15x+12+7 =15x+19.

(f\circ g)(x)= \begin{cases} 18x^{2}+96x+121, &\text{se }x\ge -\tfrac{8}{3},\\\\ 15x+39, &\text{se }x< -\tfrac{8}{3}, \end{cases}

(g\circ f)(x)= \begin{cases} 6x^{2}+12x-8, &\text{se }x\ge -1,\\\\ 15x+19, &\text{se }x< -1. \end{cases}

Sejam f e g as funções reais definidas por f(x)=\left\{\begin{array}{ll} 2 x^{2}+4 x-5, & \text { se } x \geq-1, \\\\ 5 x+4, & \text { se } x<-1, \end{array} \quad g(x)=3 x+7\right. Obtenha as leis que definem f \circ g e g \circ f. ( 2,0 pontos)