Seja $A=\{x \in \mathbb{Z} ;-5 \leq x \leq 10\}$ e defina em $A$ a seguinte relação:

$\forall a, b \in A, a R b \quad \text { se, e somente se, existe } k \in \mathbb{Z} ; \quad a-b-3 k=0 \text {. }$

Mostre que $R$ é uma relação de equivalência e calcule $\bar{a}$ . ( $\mathbf{1 , 0}$ ponto)

O enunciado define o conjunto

A = \{x\in\mathbb{Z}\mid -5 \le x \le 10\}

e a relação

R

A

por

aRb\quad\text{se, e somente se, existe }k\in\mathbb{Z}\text{ tal que }a - b - 3k = 0.

O objetivo é (1) mostrar que

R

é reflexiva, simétrica e transitiva, logo uma relação de equivalência, e (2) calcular a classe de equivalência

\overline{a}

Verificação das três propriedades de equivalência:

a - a - 3\cdot 0 = 0,

logo basta escolher

k=0

para concluir

aRa

.
2. Simetria: se

aRb

então existe

k\in\mathbb{Z}

com

a-b=3k

. Daí

b-a = -\,(a-b) = -3k = 3(-k),

e como

-k\in\mathbb{Z}

segue

bRa

.
3. Transitividade: se

aRb

bRc

, existem

k_1,k_2\in\mathbb{Z}

tais que

a-b = 3k_1 \quad\text{e}\quad b-c = 3k_2.

Somando as duas igualdades vem

a-c = 3(k_1 + k_2),

e como

k_1+k_2\in\mathbb{Z}

temos

aRc

Portanto

R

é uma relação de equivalência em

A

A classe de equivalência de um elemento

a\in A

, denotada por

\overline{a}

, é

\overline{a} = \{\,b\in A \mid a - b = 3k\text{ para algum }k\in\mathbb{Z}\}

ou seja

\overline{a} = \{\,a + 3k : k\in\mathbb{Z},\,-5 \le a + 3k \le 10\}.

R

é relação de equivalência e

\overline{a} = \{\,b\in A \mid a - b = 3k,\\ k\in\mathbb{Z}\} = \{\,a+3k : k\in\mathbb{Z},\,-5\le a+3k\le10\}.

Seja A=\{x \in \mathbb{Z} ;-5 \leq x \leq 10\} e defina em A a seguinte relação: \forall a, b \in A, a R b \quad \text { se, e somente se, existe } k \in \mathbb{Z} ; \quad a-b-3 k=0 \text {. } Mostre que R é uma relação de equivalência e calcule \bar{a}. ( \mathbf{1 , 0} ponto)