Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow-2}\left[\log _{0,5}(8+g(x))^{-1}\right]=

Passo 1

O que o enunciado pede: calcular o limite
\lim_{x\to -2}\left[\log_{0,5}\bigl(8+g(x)\bigr)^{-1}\right].
Informações relevantes dadas (peguei do enunciado):
  • g(x)=x^{2}-4x+4.
  • A expressão dentro do log é \bigl(8+g(x)\bigr)^{-1}, isto é, o inverso multiplicativo de 8+g(x).
  • O logaritmo é na base 0,5 (ou seja, base 1/2).

Passo 2

Avaliar o valor de g no ponto x=-2. Calculemos passo a passo:
g(-2)=(-2)^{2}-4(-2)+4.
Agora as operações:
(-2)^{2}=4,\qquad -4(-2)=8,
portanto
g(-2)=4+8+4=16.

Passo 3

Justificativa de troca de limite e avaliação direta (continuidade). Explicação didática: polinômios são funções contínuas em todo \mathbb{R}. Isto significa que se x\to -2 então g(x)\to g(-2)=16. Logo
8+g(x)\longrightarrow 8+16=24\quad\text{quando }x\to-2.
A função t\mapsto t^{-1} (inverso multiplicativo) é contínua sempre que t\neq0. Como o limite de 8+g(x) é 24\neq0, segue que
\bigl(8+g(x)\bigr)^{-1}\longrightarrow \frac{1}{24}\quad\text{quando }x\to-2.

Passo 4

Domínio do logaritmo e continuidade do log. Explicação didática: o logaritmo \log_{a}(y) está definido apenas para y>0; além disso, para qualquer base fixa a com a>0 e a\neq1 a função y\mapsto\log_{a}(y) é contínua em (0,\infty). Aqui o limite encontrado para o argumento do log é \dfrac{1}{24}>0, portanto podemos avaliar o limite aplicando o log contínuo:
\lim_{x\to-2}\left[\log_{0,5}\bigl(8+g(x)\bigr)^{-1}\right] = \log_{0,5}\!\left(\frac{1}{24}\right).

Passo 5

Simplificar o logaritmo usando mudança de base. Fórmula da mudança de base (explicação): para a>0,a\neq1 e b>0,
\log_{a}(b)=\frac{\ln b}{\ln a},
onde \ln é o logaritmo natural. Aplicando com a=\tfrac{1}{2} e b=\dfrac{1}{24}:
\log_{0,5}\!\left(\frac{1}{24}\right)=\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{24}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}.
Calculemos os sinais: \ln\!\left(\tfrac{1}{24}\right)=-\ln 24 e \ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)=-\ln 2. Substituindo:
\frac{\ln\!\left(\tfrac{1}{24}\right)}{\ln\!\left(\tfrac{1}{2}\right)}=\frac{-\ln 24}{-\ln 2}=\frac{\ln 24}{\ln 2}.
Reconhecendo que \dfrac{\ln 24}{\ln 2}=\log_{2}24, temos
\log_{0,5}\!\left(\frac{1}{24}\right)=\log_{2}24.

Passo 6

Fatorar 24 para uma forma mais explícita (opcional, mas útil em prova). Como 24=2^{3}\cdot 3, pela propriedade do logaritmo:
\log_{2}24=\log_{2}\bigl(2^{3}\cdot 3\bigr)=\log_{2}2^{3}+\log_{2}3=3+\log_{2}3.

Resposta

\;3+\log_{2}3

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