Sejam as funções:
f(x)=\sqrt[x]{2} \quad g(x)=x^{2}-4 x+4 \quad h(x)=2-x \quad k(x)=\left|x^{2}-1\right| \quad m(x)=-x^{2}
Calcule:
\lim _{x \rightarrow 0}\left(\frac{\sqrt{h(x)}-\sqrt{4-h(x)}}{x}\right)=

Passo 1

O enunciado pede para calcular o limite
\lim_{x\to 0}\left(\frac{\sqrt{h(x)}-\sqrt{4-h(x)}}{x}\right)
e nos dá a função h(x)=2-x. Não há outras perguntas. As informações relevantes são:
  • h(x)=2-x.
  • O limite é quando x\to 0 da expressão indicada.

Passo 2

Substituo h(x)=2-x diretamente na expressão para simplificá-la. Assim a expressão dentro do limite fica
\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{4-(2-x)}}{x}=\frac{\sqrt{2-x}-\sqrt{2+x}}{x}.
Verifico o comportamento direto em x=0:
\sqrt{2-0}-\sqrt{2+0}= \sqrt{2}-\sqrt{2}=0,
logo a expressão assume a forma indeterminada \dfrac{0}{0} quando x\to 0. Isso significa que não podemos apenas substituir x=0 — é preciso manipular a expressão.

Passo 3

Uma técnica clássica para remover raízes em uma diferença é multiplicar numerador e denominador pela conjugada do numerador. Defino
A=\sqrt{2-x},\qquad B=\sqrt{2+x},
e multiplico a fração por \dfrac{A+B}{A+B} (que vale 1) para usar a identidade (A-B)(A+B)=A^2-B^2. Faço:
\frac{A-B}{x}\cdot\frac{A+B}{A+B}=\frac{(A-B)(A+B)}{x(A+B)}=\frac{A^2-B^2}{x(A+B)}.

Passo 4

Calculo A^2-B^2 diretamente:
A^2-B^2=(\sqrt{2-x})^2-(\sqrt{2+x})^2=(2-x)-(2+x)=-2x.
Substituindo na expressão obtida no passo anterior:
\frac{A^2-B^2}{x(A+B)}=\frac{-2x}{x\big(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}\big)}.

Passo 5

Cancelo o fator x (válido para x\neq 0, suficiente para o cálculo do limite):
\frac{-2x}{x\big(\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}\big)}=-\frac{2}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}.
Agora a expressão deixou de ser indeterminada e posso tomar o limite por substituição direta em x\to 0.

Passo 6

Faço a substituição x=0 na expressão simplificada:
\lim_{x\to 0}\left(-\frac{2}{\sqrt{2-x}+\sqrt{2+x}}\right)=-\frac{2}{\sqrt{2}+\sqrt{2}}=-\frac{2}{2\sqrt{2}}=-\frac{1}{\sqrt{2}}.
Posso também escrever o resultado racionalizando o denominador se preferir:
-\frac{1}{\sqrt{2}}=-\frac{\sqrt{2}}{2}.

Resposta

-\dfrac{1}{\sqrt{2}}

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