Sejam
um grupo e
fixados.
Mostre que se
e
, então
.
Mostre que se
Passo 1
O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão clara.
-
Dados:
-
é um grupo. -
são elementos fixos. -
, isto é, (onde é o elemento neutro). -
.
-
-
Pedido:
- Mostrar que
.
- Mostrar que
Passo 2
Observação útil (fato simples sobre potências que usarei): se um elemento
comuta com
, isto é,
, então qualquer potência de
também comuta com
. Mais formalmente, se
então, para todo inteiro positivo
,
Prova rápida desse fato: por indução em
. Para
é hipótese. Se
então
Portanto o resultado vale para todo
.
Passo 3
Usar a informação
para reduzir expoentes. Como
, temos
Mas
. Logo
Este é um passo chave:
é a segunda potência de
.
Passo 4
Aplicar o fato do Passo 2 ao elemento
. Pela hipótese
, isto é,
comuta com
. Pelo Passo 2, todas as potências de
também comutam com
. Em particular,
Passo 5
Substituir a identidade do Passo 3 em
. Como
, obtemos
Isso é exatamente o que se pedia.