Sejam G um grupo e a, b \in G fixados.
Mostre que se |a|=5 e a^{3} b=b a^{3}, então a b=b a.

Passo 1

O enunciado fornece os seguintes dados e pede uma conclusão clara.
  • Dados:
    • G é um grupo.
    • a,b\in G são elementos fixos.
    • |a|=5, isto é, a^{5}=e (onde e é o elemento neutro).
    • a^{3}b = b a^{3}.
  • Pedido:
    • Mostrar que ab=ba.

Passo 2

Observação útil (fato simples sobre potências que usarei): se um elemento x comuta com b, isto é, xb=bx, então qualquer potência de x também comuta com b. Mais formalmente, se xb=bx então, para todo inteiro positivo n,
x^{n} b = b x^{n}.
Prova rápida desse fato: por indução em n. Para n=1 é hipótese. Se x^{n}b= b x^{n} então
x^{n+1} b = x(x^{n}b) = x(b x^{n}) = (x b) x^{n} = (b x) x^{n} = b x^{n+1}.
Portanto o resultado vale para todo n.

Passo 3

Usar a informação |a|=5 para reduzir expoentes. Como a^{5}=e, temos
a^{6}=a^{5}a = e a = a.
Mas a^{6}=(a^{3})^{2}. Logo
(a^{3})^{2} = a.
Este é um passo chave: a é a segunda potência de a^{3}.

Passo 4

Aplicar o fato do Passo 2 ao elemento x=a^{3}. Pela hipótese a^{3}b= b a^{3}, isto é, a^{3} comuta com b. Pelo Passo 2, todas as potências de a^{3} também comutam com b. Em particular,
(a^{3})^{2} b = b (a^{3})^{2}.

Passo 5

Substituir a identidade do Passo 3 em (a^{3})^{2} b = b (a^{3})^{2}. Como (a^{3})^{2}=a, obtemos
a b = b a.
Isso é exatamente o que se pedia.

Resposta

ab=ba

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