Sejam G um grupo e a, b \in G fixados.
Mostre que se |a|=m, então \\left|a^{k}\\right|=\\\left|a^{m-k}\\\right|, para todo k \in \mathbb{Z}.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara.
Informação: G é um grupo e a\in G tem ordem finita |a|=m. Ou seja, m é o menor inteiro positivo tal que a^{m}=e, onde e é o elemento identidade de G.
Informação: k\in\mathbb{Z} é um inteiro arbitrário (pode ser positivo, zero ou negativo).
Pedido: mostrar que
\left|a^{k}\right|=\left|a^{m-k}\right|
para todo k\in\mathbb{Z}.
Passo 2
Primeiro vamos simplificar a expressão a^{m-k} usando a relação a^{m}=e. Usando as leis de potência em grupos temos
a^{m-k}=a^{m}\,a^{-k}=e\,a^{-k}=a^{-k}.
Logo o problema se reduz a provar que
\left|a^{k}\right|=\left|a^{-k}\right|
para todo inteiro k.
Passo 3
Agora provamos um lema geral (útil e simples): para qualquer elemento g de um grupo, o elemento inverso g^{-1} tem a mesma ordem que g. Vou explicar passo a passo.
Definição: \left|g\right| é o menor inteiro positivo n tal que g^{n}=e. Se não existir tal inteiro dizemos que \left|g\right|=\infty, mas aqui estamos em caso finito porque |a|=m e depois usaremos potências de a.
Prova do lema:
Se \left|g\right|=n<\infty, então g^{n}=e.
Elevar ao inverso dá (g^{-1})^{n}=(g^{n})^{-1}=e^{-1}=e. Assim existe um inteiro positivo (o mesmo n) tal que (g^{-1})^{n}=e, logo a ordem de g^{-1} divide n. Em símbolos, \left|g^{-1}\right|\mid n.
Aplicando o mesmo raciocínio trocando g por g^{-1} obtemos \left|g\right|\mid\left|g^{-1}\right|.
Dois inteiros positivos que dividem-se mutuamente são iguais, portanto \left|g\right|=\left|g^{-1}\right|.
Se \left|g\right|=\infty, então também \left|g^{-1}\right|=\infty porque se algum expoente positivo produzisse a identidade para g^{-1} então o mesmo expoente produziria para g. Assim a igualdade de ordens vale também nesse caso.
Concluímos: para todo g\in G vale \left|g\right|=\left|g^{-1}\right|.
Passo 4
Aplique o lema ao elemento g=a^{k}. Então
\left|a^{k}\right|=\left|(a^{k})^{-1}\right|.
Mas (a^{k})^{-1}=a^{-k}, e no Passo 2 vimos que a^{-k}=a^{m-k}. Portanto
Para fixar a ideia, apresento uma fórmula muito útil (opcional, mas boa para provas): se |a|=m<\infty então
\left|a^{k}\right|=\frac{m}{\gcd(m,k)}.
Rápida justificativa: (a^{k})^{t}=a^{kt}=e se, e somente se, m\mid kt. O menor t>0 com m\mid kt é t=m/\gcd(m,k). Desta fórmula segue imediatamente que
\frac{m}{\gcd(m,k)}=\frac{m}{\gcd(m,m-k)}
porque \gcd(m,k)=\gcd(m,m-k), e isso dá a mesma conclusão \left|a^{k}\right|=\left|a^{m-k}\right|. Exemplo numérico rápido: se m=12 e k=4 então \gcd(12,4)=4 e \left|a^{4}\right|=12/4=3; como m-k=8 também tem \gcd(12,8)=4, obtemos \left|a^{8}\right|=3, consistente com o que provamos.
Passo 6
Resumo amigo e incentivo: a igualdade acontece porque a^{m-k} é o inverso de a^{k} (já que a^{m}=e), e elementos inversos têm sempre a mesma ordem. Você conseguiu; na prova é suficiente apontar que a^{m-k}=a^{-k} e usar o lema sobre ordens de inversos — curto, direto e seguro.