Sejam
um grupo e
fixados.
Mostre que
.
Mostre que
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
- Dado um grupo
e elementos fixos . - Pede para mostrar que
, onde denota a ordem do elemento (isto é, o menor inteiro positivo tal que , se existir; caso contrário diz-se que ).
Passo 2
Definição e ideia principal que vou usar (explicando passo a passo):
- Definição: para
, a ordem é o menor tal que ; se não existir tal , então . - Uma observação útil (fácil de verificar): se um elemento
satisfaz , então a ordem de divide . Isso vem do fato de que a ordem é o menor expoente positivo que anula o elemento. - Estratégia que será usada: mostrar que
é um conjugado de . Conjugados têm o mesmo comportamento em potências: especificamente, para qualquer vale a identidade para todo . Vou provar essa identidade e então usar para relacionar as ordens.
Passo 3
Provar a identidade
(essa é uma propriedade básica de conjugação):
- Base
: trivialmente . - Passo indutivo: suponha que
para algum . Então Usando associatividade e cancelando no meio obtemos Assim a fórmula vale para . Por indução ela vale para todo . - Comentário adicional (útil): a mesma identidade permite também estender para
negativo quando os inversos são considerados, mas não precisamos desse detalhe aqui.
Passo 4
Aplicar a identidade para relacionar ordens de elementos conjugados:
- Seja
e . Se para algum , então pela identidade temos Portanto a ordem de divide . Em particular, se então é finita e divide . - Agora aplicando o mesmo raciocínio trocando
por (pois ) obtemos que divide . - Conclusão: se
então divide e divide ; logo . Se então não existe com ; como qualquer com implicaria (pela identidade com ), segue que também . Portanto, em todos os casos, . - Em palavras: conjugação preserva ordem.
Passo 5
Mostrar que
é conjugado a
e concluir:
- Calcule diretamente usando associatividade e inverso:
Assim ou seja, é o conjugado de por . - Pelo resultado do passo anterior (ordem é preservada por conjugação), obtemos