Sejam G um grupo e a, b \in G fixados.
Mostre que |a b|=|b a|.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma coisa clara:
  • Dado um grupo G e elementos fixos a,b\in G.
  • Pede para mostrar que |ab| = |ba|, onde |x| denota a ordem do elemento x (isto é, o menor inteiro positivo n tal que x^n=e, se existir; caso contrário diz-se que |x|=\infty).

Passo 2

Definição e ideia principal que vou usar (explicando passo a passo):
  • Definição: para x\in G, a ordem |x| é o menor n\in\mathbb{Z}_{>0} tal que x^n=e; se não existir tal n, então |x|=\infty.
  • Uma observação útil (fácil de verificar): se um elemento y satisfaz y^n=e, então a ordem de y divide n. Isso vem do fato de que a ordem é o menor expoente positivo que anula o elemento.
  • Estratégia que será usada: mostrar que ba é um conjugado de ab. Conjugados têm o mesmo comportamento em potências: especificamente, para qualquer g,h\in G vale a identidade (h g h^{-1})^n = h g^n h^{-1}para todo n\in\mathbb{Z}_{\ge 0}. Vou provar essa identidade e então usar para relacionar as ordens.

Passo 3

Provar a identidade (h g h^{-1})^n = h g^n h^{-1} (essa é uma propriedade básica de conjugação):
  • Base n=1: trivialmente (h g h^{-1})^1 = h g h^{-1}.
  • Passo indutivo: suponha que (h g h^{-1})^n = h g^n h^{-1} para algum n. Então (h g h^{-1})^{n+1} = (h g h^{-1})^n (h g h^{-1}) = (h g^n h^{-1})(h g h^{-1}).Usando associatividade e cancelando h^{-1}h=e no meio obtemos (h g^n h^{-1})(h g h^{-1}) = h g^n (h^{-1}h) g h^{-1} = h g^{n+1} h^{-1}.Assim a fórmula vale para n+1. Por indução ela vale para todo n\in\mathbb{Z}_{\ge0}.
  • Comentário adicional (útil): a mesma identidade permite também estender para n negativo quando os inversos são considerados, mas não precisamos desse detalhe aqui.

Passo 4

Aplicar a identidade para relacionar ordens de elementos conjugados:
  • Seja g\in G e h\in G. Se g^m=e para algum m>0, então pela identidade temos (h g h^{-1})^m = h g^m h^{-1} = h e h^{-1} = e.Portanto a ordem de h g h^{-1} divide m. Em particular, se |g|=m<\infty então |h g h^{-1}| é finita e |h g h^{-1}| divide m.
  • Agora aplicando o mesmo raciocínio trocando h por h^{-1} (pois (h^{-1})(h g h^{-1})(h^{-1})^{-1} = g) obtemos que |g| divide |h g h^{-1}|.
  • Conclusão: se |g|=m<\infty então |h g h^{-1}| divide m e m divide |h g h^{-1}|; logo |h g h^{-1}|=m. Se |g|=\infty então não existe m>0 com g^m=e; como qualquer n>0 com (h g h^{-1})^n=e implicaria g^n=e (pela identidade com h^{-1}), segue que também |h g h^{-1}|=\infty. Portanto, em todos os casos, |h g h^{-1}| = |g|.
  • Em palavras: conjugação preserva ordem.

Passo 5

Mostrar que ba é conjugado a ab e concluir:
  • Calcule diretamente usando associatividade e inverso: b (ab) b^{-1} = (b a) (b b^{-1}) = (b a) e = b a.Assim ba = b (ab) b^{-1},ou seja, ba é o conjugado de ab por b.
  • Pelo resultado do passo anterior (ordem é preservada por conjugação), obtemos |ba| = |\,b (ab) b^{-1}\,| = |ab|.

Resposta

|ab| = |ba|

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