Seja
um grupo abeliano. Mostre que se
é gerado por um número finito de elementos de ordem finita, então
é finito.
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
- Há um grupo abeliano
. - Existem elementos
tais que é gerado por esses elementos, isto é,
- Cada gerador tem ordem finita: para cada
a ordem de é um inteiro positivo . Ou seja, (elemento identidade) e é o menor inteiro positivo com essa propriedade.
O que se pede: provar queé finito (mostrar que o número de elementos de é finito).
Passo 2
Explicar e fixar notação útil (passo-a-passo, sem pular etapas).
- Como cada
tem ordem finita , o subgrupo gerado por é cíclico e tem exatamente elementos; denote esse subgrupo por . - Para trabalhar com expoentes de forma controlada, considere o grupo cíclico aditivo
. Elementos de são classes com e . - O produto direto
é finito, com número de elementos igual a . Isto é um fato simples sobre produtos finitos de conjuntos finitos.
Passo 3
Construir um mapa natural que leve do produto dos cíclicos para
e verificar que ele faz sentido.
- Defina
por
- Precisamos checar que
está bem-definida: se trocarmos um representante por , então
portanto a classe
determina
de maneira única. Assim
não depende da escolha dos representantes e está bem-definida.
Passo 4
Mostrar que
é sobrejetora (surjetiva), isto é, atinge todo
.
- Por hipótese,
é gerado por . Isso significa que qualquer elemento pode ser escrito como produto de potências dos geradores:
para certos inteiros
.
- Tomando as classes
e aplicando obtemos exatamente . Portanto cada está na imagem de , isto é, é sobrejetora.
Passo 5
Concluir a finitude de
a partir da surjetividade de
.
- O conjunto domínio
é finito, com cardinalidade . - Uma imagem de um conjunto finito por uma aplicação sobrejetora também é finita; como
é sobrejetora, a imagem tem no máximo elementos. - Mas
pela surjetividade, logo é finito e satisfaz a estimativa
Isso prova o que era pedido.
Passo 6
Comentário didático e exemplo rápido para fixar (sem pular etapas).
- Intuição: cada gerador
só permite expoentes distintos porque depende de módulo . Como o grupo é abeliano não há problema de ordem ao multiplicar as potências; mesmo sem abelianidade a construção da aplicação continua válida (o que muda é a forma de representar elementos), mas aqui a abelianidade evita complicações ao reordenar fatores. - Exemplo simples: se
com e , então a aplicação dada por é sobrejetora, e portanto tem no máximo elementos (pense no caso em que é exatamente o produto direto , daí teria exatamente 6 elementos).