Seja G um grupo abeliano. Mostre que se G é gerado por um número finito de elementos de ordem finita, então G é finito.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede uma conclusão clara:
  • Há um grupo abeliano G.
  • Existem elementos g_{1},g_{2},\dots,g_{n}\in G tais que G é gerado por esses elementos, isto é,
G=\langle g_{1},g_{2},\dots,g_{n}\rangle.
  • Cada gerador tem ordem finita: para cada i a ordem de g_{i} é um inteiro positivo m_{i}. Ou seja, g_{i}^{m_{i}}=e (elemento identidade) e m_{i} é o menor inteiro positivo com essa propriedade.
    O que se pede: provar que G é finito (mostrar que o número de elementos de G é finito).

Passo 2

Explicar e fixar notação útil (passo-a-passo, sem pular etapas).
  • Como cada g_{i} tem ordem finita m_{i}, o subgrupo gerado por g_{i} é cíclico e tem exatamente m_{i} elementos; denote esse subgrupo por \langle g_{i}\rangle.
  • Para trabalhar com expoentes de forma controlada, considere o grupo cíclico aditivo \mathbb{Z}_{m_{i}}=\mathbb{Z}/m_{i}\mathbb{Z}. Elementos de \mathbb{Z}_{m_{i}} são classes [a] com a\in\mathbb{Z} e [a+[m_{i}]]=[a].
  • O produto direto \mathbb{Z}_{m_{1}}\times\mathbb{Z}_{m_{2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{m_{n}} é finito, com número de elementos igual a m_{1}\cdot m_{2}\cdots m_{n}. Isto é um fato simples sobre produtos finitos de conjuntos finitos.

Passo 3

Construir um mapa natural que leve do produto dos cíclicos para G e verificar que ele faz sentido.
  • Defina \Phi por
\Phi:\mathbb{Z}_{m_{1}}\times\mathbb{Z}_{m_{2}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{m_{n}}\longrightarrow G, \qquad \Phi\bigl([a_{1}],\dots,[a_{n}]\bigr)=g_{1}^{a_{1}}g_{2}^{a_{2}}\cdots g_{n}^{a_{n}}.
  • Precisamos checar que \Phi está bem-definida: se trocarmos um representante a_{i} por a_{i}+m_{i}, então
g_{i}^{a_{i}+m_{i}}=g_{i}^{a_{i}}g_{i}^{m_{i}}=g_{i}^{a_{i}}e=g_{i}^{a_{i}},
portanto a classe [a_{i}] determina g_{i}^{a_{i}} de maneira única. Assim \Phi não depende da escolha dos representantes e está bem-definida.

Passo 4

Mostrar que \Phi é sobrejetora (surjetiva), isto é, atinge todo G.
  • Por hipótese, G é gerado por g_{1},\dots,g_{n}. Isso significa que qualquer elemento h\in G pode ser escrito como produto de potências dos geradores:
h=g_{1}^{b_{1}}g_{2}^{b_{2}}\cdots g_{n}^{b_{n}}
para certos inteiros b_{1},\dots,b_{n}.
  • Tomando as classes [b_{i}]\in\mathbb{Z}_{m_{i}} e aplicando \Phi obtemos exatamente h. Portanto cada h\in G está na imagem de \Phi, isto é, \Phi é sobrejetora.

Passo 5

Concluir a finitude de G a partir da surjetividade de \Phi.
  • O conjunto domínio \mathbb{Z}_{m_{1}}\times\cdots\times\mathbb{Z}_{m_{n}} é finito, com cardinalidade m_{1}m_{2}\cdots m_{n}.
  • Uma imagem de um conjunto finito por uma aplicação sobrejetora também é finita; como \Phi é sobrejetora, a imagem \operatorname{Im}\Phi tem no máximo m_{1}m_{2}\cdots m_{n} elementos.
  • Mas \operatorname{Im}\Phi=G pela surjetividade, logo G é finito e satisfaz a estimativa
|G|\le m_{1}m_{2}\cdots m_{n}.
Isso prova o que era pedido.

Passo 6

Comentário didático e exemplo rápido para fixar (sem pular etapas).
  • Intuição: cada gerador g_{i} só permite m_{i} expoentes distintos porque g_{i}^{a} depende de a módulo m_{i}. Como o grupo é abeliano não há problema de ordem ao multiplicar as potências; mesmo sem abelianidade a construção da aplicação continua válida (o que muda é a forma de representar elementos), mas aqui a abelianidade evita complicações ao reordenar fatores.
  • Exemplo simples: se G=\langle x,y\rangle com \operatorname{ord}(x)=2 e \operatorname{ord}(y)=3, então a aplicação \Phi:\mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}\to G dada por \Phi([a],[b])=x^{a}y^{b} é sobrejetora, e portanto G tem no máximo 2\cdot3=6 elementos (pense no caso em que é exatamente o produto direto \mathbb{Z}_{2}\times\mathbb{Z}_{3}, daí teria exatamente 6 elementos).

Resposta

G é finito.

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