Dados os grupos
abaixo, determine as ordens de cada um de seus elementos.
, grupo multiplicativo.
Passo 1
O enunciado pede para determinar a ordem de cada elemento do grupo
com a operação de multiplicação. Aqui vamos usar teoria de grupos, em particular o conceito de ordem de um elemento em um grupo multiplicativo.
Passo 2
Em teoria de grupos, a ordem de um elemento
é o menor inteiro positivo
tal que
, onde
é o elemento neutro. Se não existir tal
, dizemos que
tem ordem infinita.
No nosso caso, o elemento neutro é . Queremos achar, para
, o menor
que satisfaz
.
No nosso caso, o elemento neutro é
Passo 3
Escreva
em forma irredutível, com
e
. A equação
vira
que implica
Passo 4
Como
e
são inteiros coprimos, a única forma de
é ter |
|=|
|. Logo
, e portanto
.
Concluímos que os únicos elementos de ordem finita em são
e
. Para qualquer outro
, não há
tal que
, e assim a ordem é infinita.
Concluímos que os únicos elementos de ordem finita em