Dados os grupos G abaixo, determine as ordens de cada um de seus elementos.
G=Q^*=Q-0, grupo multiplicativo.

Passo 1

O enunciado pede para determinar a ordem de cada elemento do grupo G=Q^*=Q-0 com a operação de multiplicação. Aqui vamos usar teoria de grupos, em particular o conceito de ordem de um elemento em um grupo multiplicativo.

Passo 2

Em teoria de grupos, a ordem de um elemento g é o menor inteiro positivo n tal que g^n=e, onde e é o elemento neutro. Se não existir tal n, dizemos que g tem ordem infinita.
No nosso caso, o elemento neutro é 1. Queremos achar, para rinQ^*, o menor n>0 que satisfaz r^n=1.

Passo 3

Escreva r=pq em forma irredutível, com p,qinZ-0 e gcd(p,q)=1. A equação r^n=1 vira
gl(pqgr)^n=1
que implica
p^n=q^n

Passo 4

Como p e q são inteiros coprimos, a única forma de p^n=q^n é ter | p|=| q|. Logo p=pm q, e portanto r=pm1.
Concluímos que os únicos elementos de ordem finita em Q^* são 1 e -1. Para qualquer outro rneqpm1, não há n>0 tal que r^n=1, e assim a ordem é infinita.

Resposta

1 tem ordem 1; -1 tem ordem 2; todo outro elemento de Q^* tem ordem infinita.

Exercícios relacionados