Seja
com operação
dada por
Este grupo é chamado grupo de Klein.
(a) Calcule
.
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(a) Calcule
Passo 1
O enunciado dá o conjunto
com a operação
descrita pela tabela fornecida, e pede para calcular o centro
.
Informações relevantes do enunciado:
Informações relevantes do enunciado:
- A tabela da operação mostra o produto de quaisquer dois elementos de
. - O elemento
aparece como identidade (linha e coluna de devolvem o mesmo elemento).
A pergunta é: qual é o conjunto, isto é, todos os elementos de que comutam com todos os demais elementos.
Passo 2
Definição que vamos usar: o centro de um grupo
é
Em palavras:
é o conjunto dos elementos que comutam com todos os elementos do grupo. Se o grupo inteiro é comutativo (abeliano), isto é,
para todo
, então todo elemento pertence ao centro e
.
Passo 3
Verificar a identidade: por definição de identidade, para todo
tem-se
. Assim
. Isso é um ponto que sempre vale, mas precisamos saber se os outros elementos também comutam com todos.
Passo 4
Usar a tabela fornecida para verificar a comutatividade entre os elementos. Da tabela (colunas = fatores à direita, linhas = fatores à esquerda) observamos os seguintes produtos:
-
e . Portanto . -
e . Portanto . -
e . Portanto . - Produtos diagonais mostram
, que também são triviaismente simétricos.
A tabela é simétrica em relação à diagonal principal (o elemento na entrada linha
, coluna
é igual ao da entrada linha
, coluna
para todos
). Isso significa que
para todos
. Em outras palavras, a operação é comutativa:
é um grupo abeliano.
Passo 5
Como concluímos que
é abeliano, pela definição do centro segue que todo elemento de
comuta com todos os outros. Portanto todo elemento pertence ao centro.