Seja K=\{e, a, b, c\} com operação * dada por
* e a b c
e e a b c
a a e c b
b b c e a
c c b a e
Este grupo é chamado grupo de Klein.
(a) Calcule Z(K).

Passo 1

O enunciado dá o conjunto K=\{e,a,b,c\} com a operação *) descrita pela tabela fornecida, e pede para calcular o centro Z(K).
Informações relevantes do enunciado:
  • A tabela da operação mostra o produto de quaisquer dois elementos de K.
  • O elemento e aparece como identidade (linha e coluna de e devolvem o mesmo elemento).
    A pergunta é: qual é o conjunto Z(K), isto é, todos os elementos de K que comutam com todos os demais elementos.

Passo 2

Definição que vamos usar: o centro de um grupo G é
Z(G)=\{g\in G \mid gx=xg\\ \text{para todo}\\ x\in G\}.
Em palavras: Z(G) é o conjunto dos elementos que comutam com todos os elementos do grupo. Se o grupo inteiro é comutativo (abeliano), isto é, xy=yx para todo x,y\in G, então todo elemento pertence ao centro e Z(G)=G.

Passo 3

Verificar a identidade: por definição de identidade, para todo x\in K tem-se ex=xe=x. Assim e\in Z(K). Isso é um ponto que sempre vale, mas precisamos saber se os outros elementos também comutam com todos.

Passo 4

Usar a tabela fornecida para verificar a comutatividade entre os elementos. Da tabela (colunas = fatores à direita, linhas = fatores à esquerda) observamos os seguintes produtos:
  • \;a*b=c e \;b*a=c. Portanto ab=ba.
  • \;a*c=b e \;c*a=b. Portanto ac=ca.
  • \;b*c=a e \;c*b=a. Portanto bc=cb.
  • Produtos diagonais mostram \;a*a=e,\;b*b=e,\;c*c=e, que também são triviaismente simétricos.
A tabela é simétrica em relação à diagonal principal (o elemento na entrada linha x, coluna y é igual ao da entrada linha y, coluna x para todos x,y\in K). Isso significa que xy=yx para todos x,y\in K. Em outras palavras, a operação é comutativa: K é um grupo abeliano.

Passo 5

Como concluímos que K é abeliano, pela definição do centro segue que todo elemento de K comuta com todos os outros. Portanto todo elemento pertence ao centro.

Resposta

Z(K)=K=\{e,a,b,c\}

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