Sejam G=\left(G L_{3}(\mathbb{R}, \cdot), J=(\mathbb{R}, \cdot)\right. e f: G \longrightarrow J definida por f(X)=\operatorname{det}(X)= determinante de X.
a) Mostre que f é um homomorfismo;
b) Determine \operatorname{ker}(f) e dê exemplo de elementos do núcleo de f.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas.
  • Dados:
    • G=\bigl(GL_{3}(\mathbb{R}),\cdot\bigr), ou seja, o conjunto das matrizes 3\times3 invertíveis com a multiplicação de matrizes.
    • J=(\mathbb{R},\cdot) (a estrutura dada no enunciado; o que interessa aqui é que a operação em J é a multiplicação de reais e a identidade é 1).
    • A aplicação f:G\longrightarrow J é definida por f(X)=\det(X), o determinante da matriz X.
  • Perguntas:
    1. Mostrar que f é um homomorfismo (ou seja, preserva a operação).
    2. Determinar \ker(f) e dar exemplos de elementos que pertencem ao núcleo de f.

Passo 2

O que significa “ser um homomorfismo” — aula rápida e prática.
  • Definição (em palavras simples): uma aplicação entre conjuntos que são equipados com uma operação (como multiplicação) é um homomorfismo se a aplicação transforma produto em produto. Mais formalmente, f é homomorfismo se, para todo A,B\in G, f(AB)=f(A)\,f(B).
  • Aqui: G usa multiplicação de matrizes e J usa multiplicação de números reais. Então devemos verificar que o determinante do produto de duas matrizes é o produto dos determinantes.

Passo 3

Por que o determinante tem a propriedade multiplicativa — intuição e justificativa.
  • Intuição geométrica: uma matriz invertível X representa um operador linear no espaço \mathbb{R}^3. O determinante de X mede quanto o operador escala volumes orientados no espaço (por exemplo, o volume de um paralelepípedo formado por três vetores). Se primeiro aplicamos B e esse multiplica volumes por \det(B), e em seguida aplicamos A que multiplica por \det(A), o efeito total sobre volumes é multiplicativo: \det(AB)=\det(A)\det(B).
  • Observação prática: essa é a propriedade que vamos usar diretamente para provar que f preserva a operação. Em cursos, há definições algébricas do determinante (soma sobre permutações, ou via propriedades multilineares e alternadas) que também levam à mesma conclusão; tanto a argumentação geométrica quanto a algébrica mostram que a multiplicatividade é uma propriedade básica do determinante.

Passo 4

Prova concreta de que f é homomorfismo usando a propriedade multiplicativa.
  • Tomemos quaisquer X,Y\in GL_3(\mathbb{R}). Pela propriedade do determinante descrita, \det(XY)=\det(X)\det(Y).
  • Como f foi definida por f(Z)=\det(Z), a identidade acima é exatamente f(XY)=f(X)f(Y).
  • Portanto f preserva a operação multiplicação e, por definição, é um homomorfismo.

Passo 5

Definição e cálculo do núcleo (kernel) — o que é o kernel e qual é aqui.
  • Definição: para um homomorfismo f:G\to J, o núcleo é \ker(f)=\{g\in G \mid f(g)=e_J\},onde e_J é a identidade em J. Como J tem operação multiplicativa, e_J=1.
  • Aplicando isso ao nosso caso, \ker(f)=\{X\in GL_3(\mathbb{R}) \mid \det(X)=1\}.
  • Esse conjunto tem um nome padrão: é o grupo especial linear de ordem 3, SL_3(\mathbb{R})=\{X\in GL_3(\mathbb{R}) \mid \det(X)=1\}.

Passo 6

Verificação de que elementos exemplares realmente estão no núcleo — exemplos explícitos e cálculos passo a passo.
  • Exemplo 1: matriz identidade.
    I_3=\begin{pmatrix}1&0&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
    Cálculo do determinante: \det(I_3)=1. Logo I_3\in\ker(f).
  • Exemplo 2: matriz triangular superior com uns na diagonal (uma translação linear tipo “shear”):
    S=\begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
    Para matrizes triangulares, o determinante é o produto dos elementos da diagonal. Aqui o produto é 1\cdot1\cdot1=1. Assim \det(S)=1 e S\in\ker(f).
  • Exemplo 3: matriz diagonal com diagonal (2,\tfrac{1}{2},1):
    D=\begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&\tfrac{1}{2}&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
    Novamente, sendo diagonal, \det(D)=2\cdot\tfrac{1}{2}\cdot1=1. Logo D\in\ker(f).
  • Exemplo 4 (opcional): rotação no plano xy embutida em 3\times3:
    R=\begin{pmatrix}\cos\theta& -\sin\theta&0\\[4pt]\sin\theta&\cos\theta&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.
    Essa matriz tem \det(R)=1 para qualquer \theta, então também pertence ao núcleo.
Cada exemplo acima está em GL_3(\mathbb{R}) (são invertíveis) e tem determinante 1, logo pertence a \ker(f).]

Passo 7

Observações finais (úteis para a prova, curtas e práticas).
  • O kernel é um subgrupo de GL_3(\mathbb{R}), em fato é um subgrupo normal; isto é uma consequência geral: o núcleo de um homomorfismo de grupos é sempre um subgrupo normal. Não era pedido, mas é bom lembrar para transformar esse fato em pergunta de prova.
  • Resumindo mentalmente: a propriedade-chave usada foi \det(AB)=\det(A)\det(B). Sempre que vir uma questão “mostrar que o determinante define homomorfismo”, esse é o passo central.

Resposta

a) f é homomorfismo, pois para todo X,Y\in GL_3(\mathbb{R}) vale \;f(XY)=\det(XY)=\det(X)\det(Y)=f(X)f(Y).\n
b) \ker(f)=\{X\in GL_3(\mathbb{R})\mid \det(X)=1\}=SL_3(\mathbb{R}). Exemplos: I_3, \begin{pmatrix}1&1&0\\[4pt]0&1&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}, \begin{pmatrix}2&0&0\\[4pt]0&\tfrac{1}{2}&0\\[4pt]0&0&1\end{pmatrix}.]

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