Sejam G=\left\{2^{m} 3^{n} \mid m, n \in \mathbb{Z}\right\} e J=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}m & n \\\\ -n & m\end{array}\right] \right\rvert\, m, n \in \mathbb{Z}\right\}.
Mostre que ( J,+ ) é subgrupo de ( M_{2 \times 2}(\mathbb{R}),+ );

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede exatamente o que está abaixo:
  • É dado G=\left\{2^{m}3^{n}\mid m,n\in\mathbb{Z}\right\}.
  • É dado J=\left\{\left.\left[\begin{array}{cc}m & n \\[4pt] -n & m\end{array}\right]\right\rvert\, m,n\in\mathbb{Z}\right\}.
  • A pergunta é: mostrar que (J,+) é subgrupo de \bigl(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\bigr).
Informações relevantes extraídas do enunciado:
  • Cada elemento de J é uma matriz 2\times2 da forma \left[\begin{smallmatrix}m & n\\[2pt]-n & m\end{smallmatrix}\right] com m,n inteiros.
  • O grupo ambientede é \bigl(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\bigr), ou seja, o conjunto de todas as matrizes 2\times2 com entradas reais, sob a operação de soma de matrizes.]

Passo 2

Lembrando (didaticamente) o que significa ser subgrupo no caso aditivo: um subconjunto H de um grupo abeliano (G,+) é subgrupo se satisfaz pelo menos uma destas versões equivalentes do teste de subgrupo:
  1. H não é vazio, é fechado sob adição e fechado sob inversos aditivos; ou
  2. H não é vazio e é fechado sob subtração (isto é, se x,y\in H então x-y\in H).
Vou usar a versão 1 porque é bem direta: preciso mostrar (i) 0\in J (onde 0 é a matriz zero), (ii) se A,B\in J então A+B\in J, e (iii) se A\in J então -A\in J. Vou explicar passo a passo o porquê de cada coisa ser verdadeira usando regras básicas de adição de matrizes e propriedades dos inteiros.

Passo 3

Mostrar que a matriz zero está em J.
A matriz zero 0 em M_{2\times2}(\mathbb{R}) é
0=\begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}.
Escolhendo m=0 e n=0 (que são inteiros), a matriz da forma de J fica
\begin{pmatrix}m & n\\[2pt]-n & m\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[2pt]0 & 0\end{pmatrix}=0.
Portanto 0\in J. (Comentário simples: isso garante que J não é vazio.)]

Passo 4

Explicar como se soma duas matrizes e aplicar isso para provar fechamento por adição.
Regra básica de soma de matrizes 2\times2: se
A=\begin{pmatrix}a_{11} & a_{12}\\[2pt]a_{21} & a_{22}\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}b_{11} & b_{12}\\[2pt]b_{21} & b_{22}\end{pmatrix},
então
A+B=\begin{pmatrix}a_{11}+b_{11} & a_{12}+b_{12}\\[2pt]a_{21}+b_{21} & a_{22}+b_{22}\end{pmatrix}.
Essa soma é feita componente a componente.
Agora tome duas matrizes quaisquer de J. Sejam
A=\begin{pmatrix}m_1 & n_1\\[2pt]-n_1 & m_1\end{pmatrix} \quad\text{e}\quad B=\begin{pmatrix}m_2 & n_2\\[2pt]-n_2 & m_2\end{pmatrix},
com m_1,n_1,m_2,n_2\in\mathbb{Z} (dados do enunciado). Somando componente a componente:
A+B = \begin{pmatrix}m_1+m_2 & n_1+n_2\\[2pt]-(n_1+n_2) & m_1+m_2\end{pmatrix}.
Observe que m_1+m_2\in\mathbb{Z} e n_1+n_2\in\mathbb{Z} porque a soma de inteiros é inteiro. Portanto A+B tem exatamente a mesma forma que os elementos de J (com m=m_1+m_2 e n=n_1+n_2), logo A+B\in J. Assim mostramos o fechamento por adição.]

Passo 5

Mostrar que J é fechado sob inversos aditivos (negativos).
Tomando uma matriz genérica de J,
A=\begin{pmatrix}m & n\\[2pt]-n & m\end{pmatrix},
o inverso aditivo (negativo) é obtido multiplicando toda a matriz por -1:
-A=\begin{pmatrix}-m & -n\\[2pt]n & -m\end{pmatrix}.
Mas é preciso escrever na forma padrão de J: reescrevendo as entradas vemos
-A=\begin{pmatrix}(-m) & (-n)\\[2pt]-(-n) & (-m)\end{pmatrix}.
Como -m\in\mathbb{Z} e -n\in\mathbb{Z} (os inteiros são fechados sob mudança de sinal), concluímos que -A é da forma exigida e portanto -A\in J.
(Ou dito de outra forma: o inverso aditivo corresponde a trocar m por -m e n por -n, e isso mantém ambos inteiros.)]

Passo 6

Conclusão final pelo critério de subgrupo.
Já mostramos que 0\in J, que J é fechado sob adição e que é fechado sob inversos aditivos. Esses três pontos juntos garantem que (J,+) é um subgrupo de \bigl(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\bigr).
Resumo intuitivo (pequeno reforço): os elementos de J correspondem aos pares (m,n)\in\mathbb{Z}^2 via a identificação
(m,n)\longmapsto\begin{pmatrix}m & n\\[2pt]-n & m\end{pmatrix},
e sob essa identificação a soma de matrizes corresponde à soma componente a componente em \mathbb{Z}^2. Como \mathbb{Z}^2 é um subgrupo de \mathbb{R}^2 sob adição, a imagem é um subgrupo de M_{2\times2}(\mathbb{R}).]

Resposta

J é subgrupo de \bigl(M_{2\times2}(\mathbb{R}),+\bigr).

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