Teste a convergência ou divergência das séries.
∑
n=1
∞
1
n+n cos^{2}n
∑
n=1
n+n cos^{2}n
Passo 1
O enunciado pede: testar a convergência ou divergência da série
Informações fornecidas e observações imediatas:
- A série tem termos gerais positivos para todo
(o denominador é positivo). - O termo geral pode ser reescrito por fatoração em
. - Precisamos decidir se a soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge (vai para infinito / não tem soma finita).
Passo 2
Reescrevemos o termo geral para simplificar e enxergar uma comparação óbvia. Pegamos
Aqui cada símbolo significa:
-
é o índice natural que vai para ; -
significa , que depende de mas é sempre um número entre e .
Passo 3
Usamos a desigualdade elementar sobre
. Como
satisfaz
temos
Multiplicando por
obtemos
Tomando recíprocos (e lembrando que tomar recíproco inverte as desigualdades porque todos os termos são positivos) resulta
Ou seja, para todo
,
Passo 4
Vou te explicar o teste de comparação (forma usada aqui), passo a passo e com intuição:
- Teste de comparação direta (caso útil): se
para todo suficientemente grande e diverge, então também diverge. Intuição: cada termo é pelo menos tão grande quanto , então somando infinitamente você não pode ter convergência se a soma menor já explode. - No nosso caso queremos uma série
que conhecemos bem e que diverge, e que satisfaça .
Passo 5
Escolhemos
. Observações:
- Pela desigualdade do Passo 3, temos
para todo . - A série
é apenas uma constante vezes a série harmônica . - É conhecido (ou podemos mostrar rapidamente por comparação integral) que a série harmônica
diverge. Portanto, multiplicando por
,
também diverge.
Passo 6
Aplicando o teste de comparação direta: como
para todo
e
diverge, segue que
também diverge.
Passo 7
Comentário final e motivação para prova: a ideia-chave é comparar com algo que você conhece bem (a série harmônica). Aqui não era preciso o limite
do quociente com
porque
não tem limite, mas a desigualdade simples usando
já foi suficiente para mostrar que os termos são, uniformemente, pelo menos da ordem de
. Isso basta para concluir divergência.
Resposta
A série diverge.