Teste a convergência ou divergência das séries.

n=1
1
n+n cos^{2}n

Passo 1

O enunciado pede: testar a convergência ou divergência da série
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\cos^{2}n}.
Informações fornecidas e observações imediatas:
  • A série tem termos gerais positivos para todo n (o denominador é positivo).
  • O termo geral pode ser reescrito por fatoração em n.
  • Precisamos decidir se a soma infinita converge (tem soma finita) ou diverge (vai para infinito / não tem soma finita).

Passo 2

Reescrevemos o termo geral para simplificar e enxergar uma comparação óbvia. Pegamos
\frac{1}{n+n\cos^{2}n}=\frac{1}{n(1+\cos^{2}n)}.
Aqui cada símbolo significa:
  • n é o índice natural que vai para +\infty;
  • \cos^{2}n significa (\cos n)^2, que depende de n mas é sempre um número entre 0 e 1.

Passo 3

Usamos a desigualdade elementar sobre \cos^{2}n. Como \cos^{2}n satisfaz
0\le \cos^{2}n \le 1\quad\text{para todo }n,
temos
1 \le 1+\cos^{2}n \le 2.
Multiplicando por n>0 obtemos
n \le n(1+\cos^{2}n) \le 2n.
Tomando recíprocos (e lembrando que tomar recíproco inverte as desigualdades porque todos os termos são positivos) resulta
\frac{1}{2n} \le \frac{1}{n(1+\cos^{2}n)} \le \frac{1}{n}.
Ou seja, para todo n,
\frac{1}{2n} \le \frac{1}{n+n\cos^{2}n} \le \frac{1}{n}.

Passo 4

Vou te explicar o teste de comparação (forma usada aqui), passo a passo e com intuição:
  • Teste de comparação direta (caso útil): se 0\le b_n \le a_n para todo n suficientemente grande e \sum b_n diverge, então \sum a_n também diverge. Intuição: cada termo a_n é pelo menos tão grande quanto b_n, então somando infinitamente você não pode ter convergência se a soma menor já explode.
  • No nosso caso queremos uma série b_n que conhecemos bem e que diverge, e que satisfaça b_n \le a_n.

Passo 5

Escolhemos b_n=\dfrac{1}{2n}. Observações:
  • Pela desigualdade do Passo 3, temos b_n \le a_n para todo n.
  • A série \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} é apenas uma constante 1/2 vezes a série harmônica \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{n}.
  • É conhecido (ou podemos mostrar rapidamente por comparação integral) que a série harmônica
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n}
diverge. Portanto, multiplicando por 1/2,
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{2n}
também diverge.

Passo 6

Aplicando o teste de comparação direta: como \dfrac{1}{2n} \le \dfrac{1}{n+n\cos^{2}n} para todo n e \sum_{n=1}^{\infty}\dfrac{1}{2n} diverge, segue que
\sum_{n=1}^{\infty}\frac{1}{n+n\cos^{2}n}
também diverge.

Passo 7

Comentário final e motivação para prova: a ideia-chave é comparar com algo que você conhece bem (a série harmônica). Aqui não era preciso o limite \lim_{n\to\infty} do quociente com 1/n porque \cos^{2}n não tem limite, mas a desigualdade simples usando 0\le\cos^{2}n\le1 já foi suficiente para mostrar que os termos são, uniformemente, pelo menos da ordem de 1/n. Isso basta para concluir divergência.

Resposta

A série diverge.

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