Sejam (G1, *) e (G2, cdot) grupos e seja f: G1 G2 um homomorfismo de grupos. Seja H um subgrupo de G2, mostre que
f^-1(H)=x in G1 mid f(x) in G2
é um subgrupo de G1.

Passo 1

O enunciado diz que G1 e G2 são grupos, que
f: G1to G2
é um homomorfismo de grupos, e que H é um subgrupo de G2. Queremos mostrar que
f^-1(H)=,xin G1mid f(x)in H
é subgrupo de G1.
Conteúdo: teste de subgrupo (identidade, fechamento e inverso) e propriedades de homomorfismo.

Passo 2

Mostramos que a identidade e1 de G1 está em f^-1(H). De fato, como f é homomorfismo,
f(e1)=e2,
onde e2 é a identidade de G2. E e2in H porque H é subgrupo de G2. Logo
e1in f^-1(H),
portanto f^-1(H)neqemptyset.

Passo 3

Mostramos fechamento sob a operação de G1. Sejam x,yin f^-1(H). Então f(x)in H e f(y)in H. Como H é subgrupo de G2, temos
f(x)cdot f(y)in H
Mas f é homomorfismo, logo
f(x*y)=f(x)cdot f(y)in H
e portanto x*yin f^-1(H). Assim f^-1(H) é fechado em relação a *.

Passo 4

Mostramos fechamento a inversos. Seja xin f^-1(H). Então f(x)in H. Como H é subgrupo, (f(x))^-1in H. Novamente pela propriedade de homomorfismo,
f(x^-1)=(f(x))^-1in H,
portanto x^-1in f^-1(H).

Resposta

Como f^-1(H) contém a identidade de G1, é fechado sob a operação e sob inversos, concluímos que f^-1(H) é subgrupo de G1.

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