Sejam
e
grupos e seja
um homomorfismo de grupos. Seja
um subgrupo de
, mostre que
é um subgrupo de
.
Passo 1
O enunciado diz que
e
são grupos, que
é um homomorfismo de grupos, e que
é um subgrupo de
. Queremos mostrar que
é subgrupo de
.
Conteúdo: teste de subgrupo (identidade, fechamento e inverso) e propriedades de homomorfismo.
Conteúdo: teste de subgrupo (identidade, fechamento e inverso) e propriedades de homomorfismo.
Passo 2
Mostramos que a identidade
de
está em
. De fato, como
é homomorfismo,
onde
é a identidade de
. E
porque
é subgrupo de
. Logo
portanto
.
Passo 3
Mostramos fechamento sob a operação de
. Sejam
. Então
e
. Como
é subgrupo de
, temos
Mas
é homomorfismo, logo
e portanto
. Assim
é fechado em relação a
.
Passo 4
Mostramos fechamento a inversos. Seja
. Então
. Como
é subgrupo,
. Novamente pela propriedade de homomorfismo,
portanto
.
Resposta
Como
contém a identidade de
, é fechado sob a operação e sob inversos, concluímos que
é subgrupo de
.