Verificar se as seguintes igualdades são válidas, seja por integração ou por derivação.
integral x(x+a)(x+b) d x=x^44+(a+b) x^33+a b x^22+c

Passo 1

O enunciado pede para verificar se
integral x(x+a)(x+b),dx = x^44 + (a+b)x^33 + ab,x^22 + c
Uma forma direta é derivar o segundo membro e checar se volta-se ao integrando x(x+a)(x+b).

Passo 2

Derivamos termo a termo o candidato a primitiva:
ddxl(x^44r) = x^3, ddxl((a+b)x^33r) = (a+b)x^2, ddxl(ab,x^22r) = ab,x, ddx(c)=0

Passo 3

Somando as derivadas obtém-se
x^3 + (a+b)x^2 + ab,x = xl(x^2 + (a+b)x + abr) = x(x+a)(x+b),
que coincide exatamente com o integrando.

Resposta

A igualdade é válida, pois a derivada do lado direito recupera x(x+a)(x+b).

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