Sejam \gamma(t)=\left(2-\cos t, \operatorname{sec} ^{2} t+3\right), t \in\left[0, \frac{\pi}{2}\left[\right.\right. e f(x, y)=\left((x-2)^{2}(y-3)\right)^{\frac{2}{3}}+1. Esboce a imagem de \gamma. Mostre que essa imagem está contida em uma curva de nível de f e indique qual é o nível.

Passo 1

O enunciado fornece:
\gamma(t)=\bigl(2-\cos t,\;\operatorname{sec}^{2}t+3\bigr),\qquad t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[,
e
f(x,y)=\left((x-2)^{2}(y-3)\right)^{\frac{2}{3}}+1.
As tarefas pedidas são:
  1. esboçar (descrever) a imagem de \gamma;
  2. mostrar que essa imagem está contida numa curva de nível de f;
  3. indicar qual é o nível (ou seja, o valor constante de f nessa curva).

Passo 2

Vamos primeiro entender o comportamento da parametrização (isso ajuda no esboço). Os componentes de \gamma são
x(t)=2-\cos t,\qquad y(t)=\operatorname{sec}^{2}t+3.
Avaliações e limites importantes:
x(0)=2-\cos 0=2-1=1,\qquad y(0)=\operatorname{sec}^{2}0+3=1+3=4,
portanto \gamma(0)=(1,4).
Quando t\to\frac{\pi}{2}^- temos \cos t\to 0^+ e \operatorname{sec}^{2}t\to+\infty, logo
x(t)\to 2^-,\qquad y(t)\to +\infty.
Isto mostra qualitativamente que a curva parte de (1,4), com x aumentando de 1 para 2 (sem atingir 2) e y crescendo até +\infty.
Para confirmar monotonicidade: calcule as derivadas em relação a t:
\frac{dx}{dt}=\sin t>0\\ \text{para }t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right),\qquad \frac{dy}{dt}=2\operatorname{sec}^{2}t\tan t>0\\ \text{para }t\in\left(0,\frac{\pi}{2}\right).
Portanto x e y são crescentes no intervalo aberto, o que reforça que a imagem é uma única curva sem voltas, indo de (1,4) para cima, aproximando-se verticalmente de x=2.

Passo 3

Agora vamos buscar uma relação algébrica entre x e y ao longo da imagem \gamma(t). Observe que, a partir de \gamma,
x(t)-2=-\cos t,\qquad y(t)-3=\operatorname{sec}^{2}t.
Multiplicando e elevando ao quadrado conforme aparece em f,
(x(t)-2)^{2}(y(t)-3)=\cos^{2}t\cdot\operatorname{sec}^{2}t.
Como \operatorname{sec} t=1/\cos t, temos
\cos^{2}t\cdot\operatorname{sec}^{2}t=\cos^{2}t\cdot\frac{1}{\cos^{2}t}=1.
Portanto, para todo t\in\left[0,\frac{\pi}{2}\right[,
(x(t)-2)^{2}(y(t)-3)=1.

Passo 4

Usando o resultado anterior dentro de f, obtemos para todo t
f\bigl(\gamma(t)\bigr)=\left((x(t)-2)^{2}(y(t)-3)\right)^{\frac{2}{3}}+1=1^{\frac{2}{3}}+1=1+1=2.
Aqui usei que 1^{\frac{2}{3}}=1 (para 1 qualquer potência real dá 1). Logo f é constante igual a 2 sobre toda a imagem de \gamma.
Definição usada: uma curva de nível de f associada ao valor c é o conjunto \{(x,y)\mid f(x,y)=c\}. Vimos que f(\gamma(t))=2 para todo t, logo a imagem de \gamma está contida na curva de nível de f correspondente a c=2.

Passo 5

Podemos escrever explicitamente a curva de nível obtida a partir da igualdade (x-2)^{2}(y-3)=1. Isolando y,
y-3=\frac{1}{(x-2)^{2}}\quad\Rightarrow\quad y=3+\frac{1}{(x-2)^{2}}.
Esta é a equação de uma “hipérbole” deslocada (mais precisamente uma curva do tipo v=1/u^{2} nas coordenadas u=x-2,\;v=y-3). Características relevantes para o esboço:
  • Domínio da curva: x\neq 2.
  • Para a parametrização dada por \gamma temos x(t)=2-\cos t\in[1,2), logo a imagem corresponde à parte da curva com 1\le x<2.
  • Ponto inicial: (1,4) (quando t=0).
  • Assíntota vertical: x=2 (quando t\to\frac{\pi}{2}^-, y\to+\infty).
  • A curva é crescente no ramo parametrizado (conforme verificado pelas derivadas).
Assim o esboço: uma curva que sai de (1,4), sobe e se aproxima verticalmente de x=2 à medida que y\to\infty; algebraicamente dada por y=3+1/(x-2)^{2} para 1\le x<2.

Resposta

Imagem: \{(x,y)\mid y=3+\dfrac{1}{(x-2)^{2}},\;1\le x<2\}.\n
Nível: f(x,y)=2.

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