Sejam
e
. Esboce a imagem de
. Mostre que essa imagem está contida em uma curva de nível de
e indique qual é o nível.
Passo 1
O enunciado fornece:
e
As tarefas pedidas são:
- esboçar (descrever) a imagem de
; - mostrar que essa imagem está contida numa curva de nível de
; - indicar qual é o nível (ou seja, o valor constante de
nessa curva).
Passo 2
Vamos primeiro entender o comportamento da parametrização (isso ajuda no esboço). Os componentes de
são
Avaliações e limites importantes:
portanto
.
Quando temos
e
, logo
Quando
Isto mostra qualitativamente que a curva parte de
, com
aumentando de
para
(sem atingir
) e
crescendo até
.
Para confirmar monotonicidade: calcule as derivadas em relação a
:
Portanto
e
são crescentes no intervalo aberto, o que reforça que a imagem é uma única curva sem voltas, indo de
para cima, aproximando-se verticalmente de
.
Passo 3
Agora vamos buscar uma relação algébrica entre
e
ao longo da imagem
. Observe que, a partir de
,
Multiplicando e elevando ao quadrado conforme aparece em
,
Como
, temos
Portanto, para todo
,
Passo 4
Usando o resultado anterior dentro de
, obtemos para todo
Aqui usei que
(para
qualquer potência real dá
). Logo
é constante igual a
sobre toda a imagem de
.
Definição usada: uma curva de nível de
associada ao valor
é o conjunto
. Vimos que
para todo
, logo a imagem de
está contida na curva de nível de
correspondente a
.
Passo 5
Podemos escrever explicitamente a curva de nível obtida a partir da igualdade
. Isolando
,
Esta é a equação de uma “hipérbole” deslocada (mais precisamente uma curva do tipo
nas coordenadas
). Características relevantes para o esboço:
- Domínio da curva:
. - Para a parametrização dada por
temos , logo a imagem corresponde à parte da curva com . - Ponto inicial:
(quando ). - Assíntota vertical:
(quando , ). - A curva é crescente no ramo parametrizado (conforme verificado pelas derivadas).
Assim o esboço: uma curva que sai de
, sobe e se aproxima verticalmente de
à medida que
; algebraicamente dada por
para
.
Resposta
Imagem:
.\n
Nível: .
Nível: