Sejam G um grupo e a^-1 o elemento inverso de a in G. Se G é um grupo cíclico e a in G é um gerador de G, prove que a^-1 também é gerador de G, ou seja, G=lang<= a^-1rang<=.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, num grupo cíclico G gerado por um elemento a (ou seja, G = a^nmid ninZ ), o inverso a^-1 também gera todo o grupo, ou seja, G=lang<= a^-1rang<=. Vamos usar a definição de grupo cíclico e a propriedade de inversos de potências.

Passo 2

Como G=a^nmid ninZ, tome um elemento arbitrário a^nin G. Usando a propriedade de inverso de produto, temos
(a^n)^-1=a^-n=(a^-1)^-n
Isso mostra que a^n pode ser escrito como potência de a^-1, logo a^ninlang<= a^-1rang<=. Assim, Gsubseteq lang<= a^-1rang<=.

Passo 3

Por outro lado, qualquer potência de a^-1 é
(a^-1)^k=a^-k
para algum kinZ. Mas a^-k é claramente uma potência de a, então (a^-1)^kin G. Assim, lang<= a^-1rang<=subseteq G.

Passo 4

Juntando as inclusões Gsubseteq lang<= a^-1rang<= e lang<= a^-1rang<=subseteq G, concluímos que
G=lang<= a^-1rang<=,
logo a^-1 também é gerador de G.

Resposta

Como mostramos as duas inclusões mutuamente, temos G=lang<= a^-1rang<=, ou seja, o inverso de um gerador de um grupo cíclico também é gerador do mesmo grupo.

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