Sejam
um grupo e
o elemento inverso de
. Se
é um grupo cíclico e
é um gerador de
, prove que
também é gerador de
, ou seja,
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, num grupo cíclico G gerado por um elemento a (ou seja, G =
), o inverso
também gera todo o grupo, ou seja,
. Vamos usar a definição de grupo cíclico e a propriedade de inversos de potências.
Passo 2
Como
, tome um elemento arbitrário
. Usando a propriedade de inverso de produto, temos
Isso mostra que
pode ser escrito como potência de
, logo
. Assim,
.
Passo 3
Por outro lado, qualquer potência de
é
para algum
. Mas
é claramente uma potência de
, então
. Assim,
.
Passo 4
Juntando as inclusões
e
, concluímos que
logo
também é gerador de
.
Resposta
Como mostramos as duas inclusões mutuamente, temos
, ou seja, o inverso de um gerador de um grupo cíclico também é gerador do mesmo grupo.