Sejam
um grupo e
um subgrupo de
tal que
. Prove que, se
e
com
, então
.
Passo 1
Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo
e um subgrupo
de
que satisfaz a condição
para todo
. Isso significa que
é um subgrupo normal de
. Nosso objetivo é provar que, se
e
para alguns elementos
, então
. Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de grupos, subgrupos e subgrupos normais.
Passo 2
Começamos com as igualdades dadas:
e
. Isso significa que
e
pertencem à mesma classe lateral à esquerda de
em
, e o mesmo vale para
e
.
Passo 3
Como
, podemos escrever
para algum
. Analogamente, como
, temos
para algum
.
Passo 4
Queremos encontrar
. Substituindo as expressões que encontramos:
Como
é subgrupo normal, sabemos que
para algum
.
Passo 5
Usando isso, temos:
Note que
também está em
porque
é um subgrupo e é fechado sob a operação de grupo.
Passo 6
Assim, podemos escrever:
Então,
está em
, ou seja:
Resposta
Portanto, provamos que
.