Sejam G um grupo e H um subgrupo de G tal que a H=H a, forall a in G. Prove que, se a H=a1 H e b H=b1 H com a, a1, b, b1 in G, então (a1 b1) H subset(a b) H.

Passo 1

Primeiro, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um grupo G e um subgrupo H de G que satisfaz a condição aH = Ha para todo a in G . Isso significa que H é um subgrupo normal de G . Nosso objetivo é provar que, se aH = a1H e bH = b1H para alguns elementos a, a1, b, b1 in G , então (a1 b1)H subseteq (ab)H . Para resolver isso, precisaremos usar conceitos de grupos, subgrupos e subgrupos normais.

Passo 2

Começamos com as igualdades dadas: aH = a1H e bH = b1H . Isso significa que a e a1 pertencem à mesma classe lateral à esquerda de H em G , e o mesmo vale para b e b1 .

Passo 3

Como aH = a1H , podemos escrever a1 = ah para algum h in H . Analogamente, como bH = b1H , temos b1 = bk para algum k in H .

Passo 4

Queremos encontrar a1 b1 . Substituindo as expressões que encontramos:
a1 b1 = (a h)(b k)
Como H é subgrupo normal, sabemos que h b = b h' para algum h' in H .

Passo 5

Usando isso, temos:
a1 b1 = a h b k = a b h' k
Note que h' k também está em H porque H é um subgrupo e é fechado sob a operação de grupo.

Passo 6

Assim, podemos escrever:
a1 b1 = a b (h' k)
Então, a1 b1 está em a b H , ou seja:
(a1 b1)H subseteq (a b)H

Resposta

Portanto, provamos que (a1 b1)H subseteq (a b)H .

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