Determine a ordem de:
Z2 times Z4 /<(1,1)>.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a ordem do grupo quociente Z2 times Z4 / lang<= (1,1) rang<=. Isso envolve conceitos de grupos, produto direto e subgrupos gerados por um elemento. Vamos precisar saber como calcular a ordem de um grupo quociente e entender o que significa gerar um subgrupo com um elemento específico.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que Z2 é o grupo dos restos da divisão por 2, ou seja, 0,1, e Z4 é o grupo dos restos da divisão por 4, ou seja, 0,1,2,3. O produto direto Z2 times Z4 consiste em todos os pares possíveis desses elementos, então temos 2 × 4 = 8 elementos no total.

Passo 3

Agora, vamos considerar o subgrupo gerado pelo elemento (1,1), denotado por lang<= (1,1) rang<=. Isso significa que vamos pegar todas as múltiplas desse elemento dentro do grupo Z2 times Z4. Como estamos trabalhando com grupos aditivos, isso significa somar o elemento (1,1) consigo mesmo várias vezes.

Passo 4

Vamos calcular essas múltiplas:
  • 0 cdot (1,1) = (0,0)
  • 1 cdot (1,1) = (1,1)
  • 2 cdot (1,1) = (0,2) (pois 1+1 = 0 em Z2 e 1+1=2 em Z4)
  • 3 cdot (1,1) = (1,3)
  • 4 cdot (1,1) = (0,0) (voltamos ao início)
Então, o subgrupo lang<= (1,1) rang<= é (0,0), (1,1), (0,2), (1,3), que tem 4 elementos.

Passo 5

Para encontrar a ordem do grupo quociente Z2 times Z4 / lang<= (1,1) rang<=, usamos a fórmula:
|Z2 times Z4 / lang<= (1,1) rang<=| = |Z2 times Z4||lang<= (1,1) rang<=|
Sabemos que |Z2 times Z4| = 8 e |lang<= (1,1) rang<=| = 4.

Resposta

A ordem de Z2 times Z4 / lang<= (1,1) rang<= é 2.

Exercícios relacionados