Determine a ordem de:
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para determinar a ordem do grupo quociente
. Isso envolve conceitos de grupos, produto direto e subgrupos gerados por um elemento. Vamos precisar saber como calcular a ordem de um grupo quociente e entender o que significa gerar um subgrupo com um elemento específico.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que
é o grupo dos restos da divisão por 2, ou seja,
, e
é o grupo dos restos da divisão por 4, ou seja,
. O produto direto
consiste em todos os pares possíveis desses elementos, então temos 2 × 4 = 8 elementos no total.
Passo 3
Agora, vamos considerar o subgrupo gerado pelo elemento
, denotado por
. Isso significa que vamos pegar todas as múltiplas desse elemento dentro do grupo
. Como estamos trabalhando com grupos aditivos, isso significa somar o elemento
consigo mesmo várias vezes.
Passo 4
Vamos calcular essas múltiplas:
-
-
-
(pois em e em ) -
-
(voltamos ao início)
Então, o subgrupo
é
, que tem 4 elementos.
Passo 5
Para encontrar a ordem do grupo quociente
, usamos a fórmula:
Sabemos que
e
.
Resposta
A ordem de
é
.