Ache uma solução para a equação diferencial de Laguerre
e escolha
de modo que a série se converta em um polinômio.
Passo 1
Então, a gente tem que resolver uma equação diferencial de Laguerre, que é:
O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais usando séries de potências. Vamos precisar expandir a solução em uma série e encontrar um valor adequado para
que faça a série virar um polinômio.
Passo 2
Primeiro, vamos supor que a solução
possa ser escrita como uma série de potências:
Isso significa que estamos expressando
como uma soma infinita de termos com potências de
.
Passo 3
Agora, precisamos calcular as derivadas de
. A primeira derivada é:
E a segunda derivada é:
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação diferencial.
Passo 4
Vamos substituir
,
e
na equação diferencial:
Simplificando os termos, temos:
Passo 5
Para facilitar, vamos mudar o índice das somas para que todas estejam em termos de
:
Agora, juntamos os termos que têm
iguais.
Passo 6
Igualando os coeficientes de
a zero, obtemos a relação de recorrência:
Para que a série se termine e vire um polinômio, precisamos que, para algum
, o próximo coeficiente
. Isso acontece se escolhermos
, onde
é um número inteiro não negativo.
Resposta
A solução da equação diferencial de Laguerre é dada por uma série de potências que se torna um polinômio de grau
quando
, onde
é um número inteiro não negativo. Ou seja, para
, a solução é o polinômio de Laguerre de grau
.