Ache uma solução para a equação diferencial de Laguerre
x y^prime prime+(1-x) y^prime+alpha y=0, x >= 0
e escolha alpha de modo que a série se converta em um polinômio.

Passo 1

Então, a gente tem que resolver uma equação diferencial de Laguerre, que é:
x y'' + (1 - x) y' + alpha y = 0, x >= 0
O conteúdo aqui envolve resolver equações diferenciais usando séries de potências. Vamos precisar expandir a solução em uma série e encontrar um valor adequado para alpha que faça a série virar um polinômio.

Passo 2

Primeiro, vamos supor que a solução y(x) possa ser escrita como uma série de potências:
y(x) = sumn=0^infty an x^n
Isso significa que estamos expressando y(x) como uma soma infinita de termos com potências de x .

Passo 3

Agora, precisamos calcular as derivadas de y(x) . A primeira derivada é:
y'(x) = sumn=1^infty n an x^n-1
E a segunda derivada é:
y''(x) = sumn=2^infty n (n - 1) an x^n-2
Essas expressões vão nos ajudar a substituir na equação diferencial.

Passo 4

Vamos substituir y(x) , y'(x) e y''(x) na equação diferencial:
x ( sumn=2^infty n (n - 1) an x^n-2 ) + (1 - x) ( sumn=1^infty n an x^n-1 ) + alpha ( sumn=0^infty an x^n ) = 0
Simplificando os termos, temos:
sumn=2^infty n (n - 1) an x^n-1 + sumn=1^infty n an x^n-1 - sumn=1^infty n an x^n + alpha sumn=0^infty an x^n = 0

Passo 5

Para facilitar, vamos mudar o índice das somas para que todas estejam em termos de x^n :
sumn=1^infty (n + 1) n an+1 x^n + sumn=0^infty (n + 1) an+1 x^n - sumn=1^infty n an x^n + alpha sumn=0^infty an x^n = 0
Agora, juntamos os termos que têm x^n iguais.

Passo 6

Igualando os coeficientes de x^n a zero, obtemos a relação de recorrência:
(n + 1)(n + alpha) an+1 = (n + 1) an+1 = (n + alpha) an Rightarrow an+1 = (n + alpha)(n + 1)(n + 1) an
Para que a série se termine e vire um polinômio, precisamos que, para algum n = N , o próximo coeficiente aN+1 = 0 . Isso acontece se escolhermos alpha = N, onde N é um número inteiro não negativo.

Resposta

A solução da equação diferencial de Laguerre é dada por uma série de potências que se torna um polinômio de grau N quando alpha = N, onde N é um número inteiro não negativo. Ou seja, para alpha = 0, 1, 2, ldots, a solução é o polinômio de Laguerre de grau N .

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