Calcule, com quatro casas decimais, os primeiros 10 termos da sequência e use-os para traçar o gráfico da sequência com a mão. Esta sequência parece ter um limite? Se assim for, calcule-o. Se não, explique por quê.
an=3 n1+6 n

Passo 1

O enunciado define a sequência
an = 3n1 + 6n
e pede (i) os primeiros 10 termos com quatro casas decimais, (ii) o esboço do gráfico desses pontos no plano (n,an), e (iii) investigar se existe limite quando ntoinfty. Vamos usar cálculo numérico para os termos e depois análise de limite de uma função racional.

Passo 2

Calculemos numericamente os cinco primeiros termos, mantendo quatro casas decimais.
Para n=1,2,3,4,5:
a1 = 3cdot11+6cdot1 = 37 approx 0,4286,
a2 = 3cdot21+6cdot2 = 613 approx 0,4615,
a3 = 3cdot31+6cdot3 = 919 approx 0,4737,
a4 = 3cdot41+6cdot4 = 1225 = 0,4800,
a5 = 3cdot51+6cdot5 = 1531 approx 0,4839

Passo 3

Agora os termos de n=6 a 10:
a6 = 1837 approx 0,4865, a7 = 2143 approx 0,4884, a8 = 2449 approx 0,4898,
a9 = 2755 approx 0,4909, a10 = 3061 approx 0,4918

Passo 4

Se traçarmos no papel os pontos (n,an) para n=1,2,dots,10, veremos que eles formam uma sequência crescente, com valores cada vez mais próximos de 0,5. O gráfico é um conjunto de pontos subindo e “achatando” em torno de anapprox0,5.

Passo 5

Para determinar o limite analiticamente, note que
an = 3n1+6n = 3n6nl(1+tfrac16nr) = 36l(1+tfrac16nr) = 12,11+tfrac16n
Quando ntoinfty, tfrac16nto0, logo
limntoinftyan = 12

Resposta

Os primeiros 10 termos (com quatro casas decimais) são:
a1=0,4286,;a2=0,4615,;a3=0,4737,;a4=0,4800,;a5=0,4839,
a6=0,4865,;a7=0,4884,;a8=0,4898,;a9=0,4909,;a10=0,4918
Ao esboçar o gráfico à mão, vemos pontos crescentes que se aproximam de 0,5.
O limite da sequência é
limntoinftyan = 12

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