Determine a taxa de juros necessária para triplicar o valor de um investimento em dez anos sob captalização contínua.

Passo 1

O enunciado pede a taxa de juros anual contínua necessária para que, em t=10 anos, um investimento inicial P vire 3P. O conteúdo aqui é capitalização contínua, cuja fórmula é
A = P,e^r t,
onde A é o montante, r a taxa anual contínua e t o tempo em anos.

Passo 2

Para encontrar r, escrevemos a razão entre montante e capital:
AP = e^r t
No nosso caso tfracAP=3 e t=10.

Passo 3

Substituindo esses valores na equação, fica
e^10r = 3
Aplicamos logaritmo natural em ambos os lados:
10r = ln(3) Longrightarrow r = ln(3)10

Passo 4

Basta calcular numericamente: ln(3)approx1,0986, logo
r approx 1,098610 = 0,10986,
isto é cerca de 10,986% ao ano.

Resposta

r = ln(3)10approx0,1099(ou 10,99% ao ano)

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