Sejam
,
um ponto de acumulação de
e
uma função. Prove que, se
,
Sejam
Passo 1
Vamos reformular o que queremos provar e recordar as definições. Temos
, um ponto de acumulação
de
e
. Queremos mostrar que, para qualquer
, vale
Aqui a definição de limite é:
- Se
, então - Se
, então
e análogo para
.
Passo 2
Prova da direção “
”.
Suponha a definição -
(ou
-
no caso infinito) satisfeita. Seja
com
e
.
Suponha a definição
- Se
, dado existe tal que implica . Como , existe com para todo . Logo para , ou seja, . - Se
, dado existe tal que implica . Como , para grande , daí e . O caso é análogo.
Passo 3
Prova da direção “
” para
.
Fazemos por contradição. Suponha que a definição -
falhe: existe
tal que, para todo
, existe
com
Fazemos por contradição. Suponha que a definição
Escolhendo
, para cada
tome
satisfazendo
e
. Então
mas
impede
, contradição à hipótese sequencial.
Passo 4
Caso
(ou
).
Se a definição “para todo existe
tal que
” falha, então existe
tal que, para todo
, há
com
e
. De novo construímos
com
, o que impede
. Caso
é análogo trocando desigualdades.
Se a definição “para todo
Resposta
Concluímos que as definições via
-
(ou
-
) e via sequências são equivalentes, ou seja,