(1,0)
Sejam I subset R, a um ponto de acumulação de I e f: I R uma função. Prove que, se L in R cup-infty, infty,
lim x a f(x)=L Leftrightarrow forall(xn) subset I, com lim xn=a, tem-se lim f(xn)=L

Passo 1

Vamos reformular o que queremos provar e recordar as definições. Temos IsubsetR, um ponto de acumulação a de I e fcolon ItoR. Queremos mostrar que, para qualquer LinRcup-infty,infty, vale
limxto af(x)=L Long<=ftrightarrow forall(xn)subset I, lim xn=a implies lim f(xn)=L
Aqui a definição de limite é:
  • Se LinR, então limxto af(x)=L Long<=ftrightarrow forallepsilon>0 existsde<a>0 tal que 0<|x-a|<de<aimplies|f(x)-L|<epsilon
  • Se L=+infty, então limxto af(x)=+infty Long<=ftrightarrow forall M>0 existsde<a>0 tal que 0<|x-a|<de<aimplies f(x)>M,
e análogo para L=-infty.

Passo 2

Prova da direção “ limxto af(x)=L implies forall(xn)to a, f(xn)to L”.
Suponha a definição epsilon- de<a (ou M- de<a no caso infinito) satisfeita. Seja (xn)subset I com lim xn=a e xnneq a.
  1. Se LinR, dado epsilon>0 existe de<a>0 tal que 0<|x-a|<de<a implica |f(x)-L|<epsilon. Como xnto a, existe N com |xn-a|<de<a para todo n>= N. Logo |f(xn)-L|<epsilon para n>= N, ou seja, f(xn)to L.
  2. Se L=+infty, dado M>0 existe de<a>0 tal que 0<|x-a|<de<a implica f(x)>M. Como xnto a, para n grande 0<|xn-a|<de<a, daí f(xn)>M e f(xn)to+infty. O caso L=-infty é análogo.

Passo 3

Prova da direção “ forall(xn)to a, f(xn)to L implies limxto af(x)=L” para LinR.
Fazemos por contradição. Suponha que a definição epsilon- de<a falhe: existe epsilon0>0 tal que, para todo de<a>0, existe xin Isetminusa com
0<|x-a|<de<a e |f(x)-L|>=epsilon0
Escolhendo de<an=1/n, para cada n tome xn satisfazendo 0<|xn-a|<1/n e |f(xn)-L|>=epsilon0. Então xnto a mas |f(xn)-L|>=epsilon0 impede f(xn)to L, contradição à hipótese sequencial.

Passo 4

Caso L=+infty (ou L=-infty).
Se a definição “para todo M>0 existe de<a tal que 0<|x-a|<de<aimplies f(x)>M” falha, então existe M0 tal que, para todo de<a>0, há xin Isetminusa com 0<|x-a|<de<a e f(x)<= M0. De novo construímos xnto a com f(xn)<= M0, o que impede f(xn)to+infty. Caso L=-infty é análogo trocando desigualdades.

Resposta

Concluímos que as definições via epsilon- de<a (ou M- de<a) e via sequências são equivalentes, ou seja,
limxto af(x)=L Long<=ftrightarrow forall(xn)subset I, lim xn=aimplieslim f(xn)=L

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