- Sejam
intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção
não é vazia. Prove que
é um intervalo, o qual nunca é aberto.
Seção 2: Conjuntos fechados
Passo 1
O enunciado diz que temos uma sequência de intervalos limitados
todos distintos dois a dois e cuja interseção
é não vazia. Queremos mostrar duas coisas:
-
é um intervalo (isto é, é convexo em ). -
nunca pode ser um intervalo aberto.
Conteúdo teórico que vamos usar:
- A interseção de conjuntos convexos (intervalos) é convexa.
- Para cada intervalo limitado
podemos falar em e . - Propriedades de supremo e ínfimo em sequências monotônicas.
Passo 2
Definimos, para cada
,
Como
, a sequência
é não decrescente e
é não crescente, e ambas são limitadas porque cada
é limitado. Logo existem
Além disso, como
, sabemos que
.
Passo 3
Mostramos que
e
pertencem a cada
, e portanto a
.
Para qualquer
temos
. Em cada intervalo
vale:
- Se
for fechado à esquerda em , então e, como , a convexidade de garante . - Se for aberto à esquerda, então
, logo também.
Análogo para
. Assim
Passo 4
Agora mostramos que
é exatamente o intervalo com extremos
e
.
- Se
, então para todo , daí e passando ao limite . - Se
, então para cada temos , e por convexidade de segue . Como vale para todo , .
Portanto
mas em todos os casos
contém pelo menos um dos pontos
ou
(no caso degenerado
, contém esse ponto).
Passo 5
Nenhum dos quatro tipos acima é um intervalo aberto. Logo
nunca pode ser aberto.
Resposta
A interseção
é um intervalo (convexo) de extremidades
e
, e como sempre contém pelo menos uma das extremidades, nunca é aberto.