1. Sejam I_{1} \supset I_{2} \supset \cdots \supset I_{n} \supset \cdots intervalos limitados dois a dois distintos, cuja interseção I=\bigcap_{n=1}^{\infty} I_{n} não é vazia. Prove que I é um intervalo, o qual nunca é aberto.

Seção 2: Conjuntos fechados

Passo 1

O enunciado diz que temos uma sequência de intervalos limitados
I_{1}\supset I_{2}\supset \cdots \supset I_{n}\supset\cdots
todos distintos dois a dois e cuja interseção
I=\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}
é não vazia. Queremos mostrar duas coisas:
  1. I é um intervalo (isto é, é convexo em \mathbb{R}).
  2. I nunca pode ser um intervalo aberto.
Conteúdo teórico que vamos usar:
  • A interseção de conjuntos convexos (intervalos) é convexa.
  • Para cada intervalo limitado I_{n} podemos falar em \inf I_{n} e \sup I_{n}.
  • Propriedades de supremo e ínfimo em sequências monotônicas.

Passo 2

Definimos, para cada n,
a_{n} = \inf I_{n},\qquad b_{n} = \sup I_{n}.
Como I_{n+1}\subset I_{n}, a sequência (a_{n}) é não decrescente e (b_{n}) é não crescente, e ambas são limitadas porque cada I_{n} é limitado. Logo existem
\alpha = \sup_{n}a_{n},\qquad \beta = \inf_{n}b_{n}.
Além disso, como \bigcap_{n}I_{n}\neq\varnothing, sabemos que \alpha\le\beta.

Passo 3

Mostramos que \alpha e \beta pertencem a cada I_{n}, e portanto a I.
Para qualquer n temos a_{n}\le\alpha\le\beta\le b_{n}. Em cada intervalo I_{n} vale:
  • Se I_{n} for fechado à esquerda em a_{n}, então a_{n}\in I_{n} e, como \alpha\ge a_{n}, a convexidade de I_{n} garante \alpha\in I_{n}.
  • Se for aberto à esquerda, então a_{n}<\alpha\le b_{n}, logo \alpha\in I_{n} também.
Análogo para \beta. Assim
\alpha,\;\beta\in\bigcap_{n=1}^{\infty}I_{n}=I.

Passo 4

Agora mostramos que I é exatamente o intervalo com extremos \alpha e \beta.
  1. Se x\in I, então x\in I_{n} para todo n, daí a_{n}\le x\le b_{n} e passando ao limite \alpha\le x\le\beta.
  2. Se \alpha\le x\le\beta, então para cada n temos a_{n}\le\alpha\le x\le\beta\le b_{n}, e por convexidade de I_{n} segue x\in I_{n}. Como vale para todo n, x\in I.
Portanto
I = [\alpha,\beta] \quad\text{ou} \quad I = [\alpha,\beta), \quad\text{ou} \quad I = (\alpha,\beta], \quad\text{ou} \quad I = \{\alpha\}\,,
mas em todos os casos I contém pelo menos um dos pontos \alpha ou \beta (no caso degenerado \alpha=\beta, contém esse ponto).

Passo 5

Nenhum dos quatro tipos acima é um intervalo aberto. Logo I nunca pode ser aberto.

Resposta

A interseção I é um intervalo (convexo) de extremidades \alpha=\sup_n a_n e \beta=\inf_n b_n, e como sempre contém pelo menos uma das extremidades, nunca é aberto.

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