O conteúdo é topologia em \mathbb{R}, e vamos usar a definição
\partial A \;=\;\overline{A}\;\setminus\;\mathrm{int}(A),
onde \overline{A} é o fecho (fechado mínimo que contém A) e \mathrm{int}(A) é o interior (aberto máximo contido em A).
Passo 2
Para X=[0,1]:
– O fecho de X é \overline{X}=[0,1], pois já é fechado.
– O interior de X é \mathrm{int}(X)=(0,1), pois é o maior aberto contido em [0,1].
Logo
\partial X \;=\;[0,1]\;\setminus\;(0,1)\;=\;\{0,1\}.
Passo 3
Para Y=(0,1)\cup(1,2):
– Y é aberto em \mathbb{R}, então \mathrm{int}(Y)=Y=(0,1)\cup(1,2).
– O fecho de cada intervalo (0,1) e (1,2) é [0,1] e [1,2] respectivamente, logo \overline{Y}=[0,1]\cup[1,2].
Assim
\partial Y \;=\;\bigl([0,1]\cup[1,2]\bigr)\;\setminus\;\bigl((0,1)\cup(1,2)\bigr) \;=\;\{0,1,2\}.
Passo 4
Para Z=\mathbb{Q}:
– Os racionais são densos em \mathbb{R}, então \overline{Z}=\mathbb{R}.
– Não há nenhum intervalo aberto contido inteiramente em \mathbb{Q}, logo \mathrm{int}(Z)=\varnothing.
Portanto
\partial Z \;=\;\mathbb{R}\;\setminus\;\varnothing \;=\;\mathbb{R}.
Passo 5
Para W=\mathbb{Z}:
– Os inteiros formam um conjunto fechado e não têm pontos de acumulação em \mathbb{R}, então \overline{W}=\mathbb{Z}.
– Qualquer intervalo em \mathbb{R} contém não inteiros, logo \mathrm{int}(W)=\varnothing.
Dessa forma
\partial W \;=\;\mathbb{Z}\;\setminus\;\varnothing \;=\;\mathbb{Z}.
Resposta
\displaystyle \partial X = \{0,1\} \displaystyle \partial Y = \{0,1,2\} \displaystyle \partial Z = \mathbb{R} \displaystyle \partial W = \mathbb{Z}