(5.) Para cada um dos conjuntos seguintes, determine sua fronteira: X=[0,1], Y=(0,1) \cup(1,2), Z=\mathbb{Q}, W=\mathbb{Z}.

Passo 1

O enunciado pede para calcular a fronteira \partial A de cada conjunto A\subset\mathbb{R}:
X=[0,1],\quad Y=(0,1)\cup(1,2),\quad Z=\mathbb{Q},\quad W=\mathbb{Z}.
O conteúdo é topologia em \mathbb{R}, e vamos usar a definição
\partial A \;=\;\overline{A}\;\setminus\;\mathrm{int}(A),
onde \overline{A} é o fecho (fechado mínimo que contém A) e \mathrm{int}(A) é o interior (aberto máximo contido em A).

Passo 2

Para X=[0,1]:
– O fecho de X é \overline{X}=[0,1], pois já é fechado.
– O interior de X é \mathrm{int}(X)=(0,1), pois é o maior aberto contido em [0,1].
Logo
\partial X \;=\;[0,1]\;\setminus\;(0,1)\;=\;\{0,1\}.

Passo 3

Para Y=(0,1)\cup(1,2):
Y é aberto em \mathbb{R}, então \mathrm{int}(Y)=Y=(0,1)\cup(1,2).
– O fecho de cada intervalo (0,1) e (1,2) é [0,1] e [1,2] respectivamente, logo
\overline{Y}=[0,1]\cup[1,2].
Assim
\partial Y \;=\;\bigl([0,1]\cup[1,2]\bigr)\;\setminus\;\bigl((0,1)\cup(1,2)\bigr) \;=\;\{0,1,2\}.

Passo 4

Para Z=\mathbb{Q}:
– Os racionais são densos em \mathbb{R}, então \overline{Z}=\mathbb{R}.
– Não há nenhum intervalo aberto contido inteiramente em \mathbb{Q}, logo \mathrm{int}(Z)=\varnothing.
Portanto
\partial Z \;=\;\mathbb{R}\;\setminus\;\varnothing \;=\;\mathbb{R}.

Passo 5

Para W=\mathbb{Z}:
– Os inteiros formam um conjunto fechado e não têm pontos de acumulação em \mathbb{R}, então \overline{W}=\mathbb{Z}.
– Qualquer intervalo em \mathbb{R} contém não inteiros, logo \mathrm{int}(W)=\varnothing.
Dessa forma
\partial W \;=\;\mathbb{Z}\;\setminus\;\varnothing \;=\;\mathbb{Z}.

Resposta

\displaystyle \partial X = \{0,1\}
\displaystyle \partial Y = \{0,1,2\}
\displaystyle \partial Z = \mathbb{R}
\displaystyle \partial W = \mathbb{Z}

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