Sejam
e
, com
invertível. Mostre que se
, então
.
Dê um exemplo de uma matriz
tal que
.
Dê um exemplo de uma matriz
Passo 1
O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
-
Dados:
-
e é invertível. -
. - Sabe-se que
.
-
-
Pedidos:
- Mostrar que, sob essas hipóteses,
. - Dar um exemplo de uma matriz
tal que .
- Mostrar que, sob essas hipóteses,
Passo 2
Verificação das dimensões e manipulação inicial.
Como é
e
são
, os produtos
e
são bem definidos e têm dimensão
. Da igualdade dada obtemos
Como
Subtraindo os dois lados (subtração de matrizes é permitida entrada a entrada) obtemos
onde
é a matriz nula de dimensão
. Aqui usamos a distributividade da multiplicação matricial sobre a adição.
Passo 3
Explicando o que significa
invertível.
Dizemos que é invertível quando existe
tal que
Dizemos que
onde
é a matriz identidade
(matriz com
na diagonal e
nas demais entradas). A propriedade essencial que vamos usar é que multiplicar à esquerda por
“cancel a” o
.
Passo 4
Aplicando
à igualdade
.
Multiplicando à esquerda por e usando associatividade da multiplicação matricial, temos
Multiplicando à esquerda por
Pela associatividade,
Como
, segue
Mas a multiplicação da identidade deixa a matriz inalterada, logo
Finalmente, somando
aos dois lados, obtemos
. Isso prova o primeiro pedido.
Passo 5
Observação alternativa (intuitiva) usando núcleo:
Outra maneira de ver é escrever e observar que isso significa que cada coluna da matriz
pertence ao núcleo (kernel) da transformação linear representada por
. Como
é invertível, seu núcleo é
, então cada coluna de
é a coluna zero, isto é
. Conclui-se
. Esta explicação é a mesma ideia vista de outra perspectiva.
Outra maneira de ver é escrever
Passo 6
Exemplo de matriz
tal que
.
Um exemplo simples em é a matriz nilpotente de Jordan
Um exemplo simples em
Vamos multiplicá-la por si mesma para verificar
. Calculando
Portanto
. Observação: tal matriz não é invertível (por isso não contradiz a parte anterior).]