Sejam A \in M_{m}(\mathbb{R}) e B, C \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), com A invertível. Mostre que se A B=A C, então B=C.
Dê um exemplo de uma matriz A \in M_{m}(\mathbb{R}) tal que A^{2}=0.

Passo 1

O enunciado dá as seguintes informações e pede duas coisas claras:
  • Dados:
    • A\in M_{m}(\mathbb{R}) e A é invertível.
    • B,C\in M_{m\times n}(\mathbb{R}).
    • Sabe-se que A B = A C.
  • Pedidos:
    1. Mostrar que, sob essas hipóteses, B=C.
    2. Dar um exemplo de uma matriz A\in M_{m}(\mathbb{R}) tal que A^{2}=0.

Passo 2

Verificação das dimensões e manipulação inicial.
Como A é m\times m e B,C são m\times n, os produtos AB e AC são bem definidos e têm dimensão m\times n. Da igualdade dada obtemos
A B = A C.
Subtraindo os dois lados (subtração de matrizes é permitida entrada a entrada) obtemos
A(B-C)=0,
onde 0 é a matriz nula de dimensão m\times n. Aqui usamos a distributividade da multiplicação matricial sobre a adição.

Passo 3

Explicando o que significa A invertível.
Dizemos que A é invertível quando existe A^{-1}\in M_{m}(\mathbb{R}) tal que
A^{-1}A = AA^{-1} = I_{m},
onde I_{m} é a matriz identidade m\times m (matriz com 1 na diagonal e 0 nas demais entradas). A propriedade essencial que vamos usar é que multiplicar à esquerda por A^{-1} “cancel a” o A.

Passo 4

Aplicando A^{-1} à igualdade A(B-C)=0.
Multiplicando à esquerda por A^{-1} e usando associatividade da multiplicação matricial, temos
A^{-1}\bigl(A(B-C)\bigr)=A^{-1}0.
Pela associatividade,
(A^{-1}A)(B-C)=0.
Como A^{-1}A=I_{m}, segue
I_{m}(B-C)=0.
Mas a multiplicação da identidade deixa a matriz inalterada, logo
B-C=0.
Finalmente, somando C aos dois lados, obtemos B=C. Isso prova o primeiro pedido.

Passo 5

Observação alternativa (intuitiva) usando núcleo:
Outra maneira de ver é escrever A(B-C)=0 e observar que isso significa que cada coluna da matriz B-C pertence ao núcleo (kernel) da transformação linear representada por A. Como A é invertível, seu núcleo é \{0\}, então cada coluna de B-C é a coluna zero, isto é B-C=0. Conclui-se B=C. Esta explicação é a mesma ideia vista de outra perspectiva.

Passo 6

Exemplo de matriz A tal que A^{2}=0.
Um exemplo simples em M_{2}(\mathbb{R}) é a matriz nilpotente de Jordan
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Vamos multiplicá-la por si mesma para verificar A^{2}=0. Calculando
A^{2} = \begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0\cdot 0 + 1\cdot 0 & 0\cdot 1 + 1\cdot 0\\[6pt] 0\cdot 0 + 0\cdot 0 & 0\cdot 1 + 0\cdot 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}.
Portanto A^{2}=0. Observação: tal matriz não é invertível (por isso não contradiz a parte anterior).]

Resposta

B=C
A=\begin{pmatrix}0 & 1\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix},\quad A^{2}=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt] 0 & 0\end{pmatrix}]

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