Considere a matriz A=\left[\begin{array}{ccc}2 & -4 & 0 \\\\ 3 & 6 & 5 \\\\ -2 & 1 & 4\end{array}\right] e calcule seu determinante. Em cada caso, procure adivinhar quanto será \operatorname{det}(B), em que B é a matriz obtida a partir de A
(i) permutando-se as linhas 2 e 3 .
(ii) multiplicando-se a linha 2 por \frac{2}{3}.
(iii) multiplicando-se a linha 3 por 2 .
(iv) somando-se a linha 2 à linha 3 .
(v) somando-se -\pi vezes a linha 1 à linha 2 .
(vi) transpondo-se $A.

Passo 1

O enunciado dá a matriz
A=\begin{pmatrix}2 & -4 & 0 \\[4pt] 3 & 6 & 5 \\[4pt] -2 & 1 & 4\end{pmatrix}
e pede duas coisas:
  • Calcular o determinante de A, isto é \det(A).
  • Para cada uma das operações abaixo, chamar de B a matriz resultante e descobrir (ou “adivinhar”) \det(B):
    (i) permutar as linhas 2 e 3;
    (ii) multiplicar a linha 2 por \tfrac{2}{3};
    (iii) multiplicar a linha 3 por 2;
    (iv) somar a linha 2 à linha 3 (substituir a linha 3 por linha3 + linha2);
    (v) somar -\pi vezes a linha 1 à linha 2 (substituir a linha 2 por linha2 -\pi \timeslinha1);
    (vi) transpor A (obter A^{T}).
Essas são todas as informações e perguntas. A partir do próximo passo começo a resolver.]

Passo 2

Vamos calcular \det(A) usando a expansão por cofatores ao longo da primeira linha. Primeiro lembro a fórmula: para uma matriz 3\times3 com primeira linha (a_{11},a_{12},a_{13}),
\det(A)=a_{11}C_{11}+a_{12}C_{12}+a_{13}C_{13},
onde C_{1j}=(-1)^{1+j}M_{1j} é o cofator e M_{1j} é o menor (determinante da submatriz que resta ao eliminar a linha 1 e a coluna j). Aqui a primeira linha é (2,\,-4,\,0). Vou calcular cada termo.

Passo 3

Calcule os menores e cofatores:
  • Para a_{11}=2: o menor M_{11} é o determinante da submatriz obtida ao eliminar linha 1 e coluna 1,
M_{11}=\det\begin{pmatrix}6 & 5 \\[4pt] 1 & 4\end{pmatrix}=6\cdot4-5\cdot1=24-5=19.
O cofator C_{11}=(-1)^{1+1}M_{11}=1\cdot19=19. O contributo é 2\cdot19=38.
  • Para a_{12}=-4: o menor M_{12} é o determinante da submatriz ao eliminar linha 1 e coluna 2,
M_{12}=\det\begin{pmatrix}3 & 5 \\[4pt] -2 & 4\end{pmatrix}=3\cdot4-5\cdot(-2)=12+10=22.
O cofator C_{12}=(-1)^{1+2}M_{12}=-1\cdot22=-22. O contributo é a_{12}C_{12}=(-4)\cdot(-22)=+88.
  • Para a_{13}=0: qualquer coisa multiplicada por 0 0, então o último termo é 0.
Somando os contributos:
\det(A)=38+88+0=126.]

Passo 4

Recapitulando a propriedade usada: o determinante é linear em cada linha separadamente e tem propriedades simples abaixo que vamos aplicar às partes (i)–(vi):
  • Trocar duas linhas muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
  • Multiplicar uma linha por um escalar \lambda multiplica o determinante por \lambda.
  • Somar a um linha um múltiplo de outra linha (substituir uma linha por ela mais \lambda vezes outra) não altera o determinante.
  • O determinante da matriz transposta é igual ao determinante original: \det(A^T)=\det(A).
Agora aplico essas regras caso a caso.

Passo 5

(i) Permutando as linhas 2 e 3: trocar duas linhas muda o sinal do determinante. Logo
\det(B)=-\det(A)=-126.

Passo 6

(ii) Multiplicando a linha 2 por \tfrac{2}{3}: escalar uma única linha por \tfrac{2}{3} multiplica o determinante por esse fator. Logo
\det(B)=\tfrac{2}{3}\det(A)=\tfrac{2}{3}\cdot126=84.

Passo 7

(iii) Multiplicando a linha 3 por 2: similarmente, multiplicar uma linha por 2 multiplica o determinante por 2. Assim
\det(B)=2\det(A)=2\cdot126=252.

Passo 8

(iv) Somando a linha 2 à linha 3 (substituir linha 3 por linha3 + linha2): essa operação é do tipo “adicionar um múltiplo de uma linha a outra” (aqui o múltiplo é 1), que não altera o determinante. Portanto
\det(B)=\det(A)=126.

Passo 9

(v) Somando -\pi vezes a linha 1 à linha 2 (substituir linha 2 por linha2 -\pi \timeslinha1): novamente é “adicionar um múltiplo de uma linha a outra”, operação que não muda o determinante. Então
\det(B)=\det(A)=126.

Passo 10

(vi) Transpondo A: propriedade padrão é \det(A^{T})=\det(A). Logo
\det(B)=\det(A^{T})=\det(A)=126.

Resposta

\det(A)=126
(i) \det(B)=-126
(ii) \det(B)=84
(iii) \det(B)=252
(iv) \det(B)=126
(v) \det(B)=126
(vi) \det(B)=126

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