Sejam A \in M_{m}(\mathbb{R}) e B, C \in M_{m \times n}(\mathbb{R}), com A invertível. Mostre que se A B=A C, então B=C.

Passo 1

Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
  • Dados:
    • A\in M_{m}(\mathbb{R}) (ou seja, A é uma matriz quadrada m\times m).
    • B,C\in M_{m\times n}(\mathbb{R}) (ou seja, B e C são matrizes m\times n).
    • A é invertível (existe A^{-1} tal que A^{-1}A=AA^{-1}=I_m, onde I_m é a matriz identidade m\times m).
    • Está dada a igualdade A B = A C.
  • O que pedir: mostrar que, a partir dessas hipóteses, necessariamente B=C.

Passo 2

Relembrando conceitos essenciais (bem devagarzinho, como numa aula amiga).
  • Matriz inversa: dizer que A é invertível significa que existe uma matriz A^{-1}\in M_m(\mathbb{R}) com a propriedade
    A^{-1}A = I_m \quad\text{e}\quad AA^{-1}=I_m,
    onde I_m é a matriz identidade m\times m. A matriz identidade tem a propriedade básica de neutro multiplicativo:
    I_m X = X \quad\text{e}\quad X I_n = X
    sempre que as multiplicações forem definidas.
  • Associatividade: a multiplicação de matrizes é associativa; isto é, para matrizes com dimensões compatíveis,
    (XY)Z = X(YZ).
    Essa propriedade nos permite reorganizar parênteses nas multiplicações sem alterar o resultado.

Passo 3

Verificação das dimensões (para não ter erro na hora da prova):
  • A é m\times m e B,C são m\times n. Logo AB e AC são bem definidas e ambas são matrizes m\times n.
  • A^{-1} (existente por hipótese) também é m\times m. Portanto é legal multiplicar A^{-1} à esquerda de AB e AC: as dimensões batem e o resultado será uma matriz m\times n.

Passo 4

Agora o cálculo direto, explicando cada passo:
Partimos da hipótese
AB = AC.
Multiplicamos os dois lados à esquerda por A^{-1} (legal pelas dimensões):
A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC).
Usando a associatividade da multiplicação de matrizes podemos reescrever os parênteses:
(A^{-1}A)B = (A^{-1}A)C.
Pelo fato de A^{-1}A=I_m, obtemos
I_m B = I_m C.
Usando a propriedade do elemento neutro da multiplicação, I_m B = B e I_m C = C. Assim
B = C.

Passo 5

Comentário importante (para fixar e evitar armadilhas na prova):
  • A razão de tudo funcionar é justamente que A é invertível. Sem inversa, não é possível “cancelar” A pela esquerda em geral.
  • Contraexemplo quando A não é invertível: tome por exemplo A=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad B=\begin{pmatrix}1 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix},\quad C=\begin{pmatrix}0 & 0\\[4pt]0 & 0\end{pmatrix}.Aqui A não é invertível e AB=AC=\begin{pmatrix}0&0\\[4pt]0&0\end{pmatrix}, mas B\neq C. Então a hipótese de invertibilidade é essencial.]

Passo 6

Dica prática para a prova (curta e eficiente):
  • Ao ver uma igualdade AX=AY com A quadrada, verifique se A é invertível. Se for, multiplique à esquerda por A^{-1} e use associatividade e A^{-1}A=I para concluir X=Y. É o padrão de “cancelamento à esquerda” em matrizes invertíveis.

Resposta

B=C

Exercícios relacionados