Sejam
e
, com
invertível. Mostre que se
, então
.
Passo 1
Vamos entender claramente o que o enunciado dá e o que pede.
-
Dados:
-
(ou seja, é uma matriz quadrada ). -
(ou seja, e são matrizes ). -
é invertível (existe tal que , onde é a matriz identidade ). - Está dada a igualdade
.
-
-
O que pedir: mostrar que, a partir dessas hipóteses, necessariamente
.
Passo 2
Relembrando conceitos essenciais (bem devagarzinho, como numa aula amiga).
-
Matriz inversa: dizer que
é invertível significa que existe uma matriz com a propriedade ondeé a matriz identidade . A matriz identidade tem a propriedade básica de neutro multiplicativo: sempre que as multiplicações forem definidas. -
Associatividade: a multiplicação de matrizes é associativa; isto é, para matrizes com dimensões compatíveis,Essa propriedade nos permite reorganizar parênteses nas multiplicações sem alterar o resultado.
Passo 3
Verificação das dimensões (para não ter erro na hora da prova):
-
é e são . Logo e são bem definidas e ambas são matrizes . -
(existente por hipótese) também é . Portanto é legal multiplicar à esquerda de e : as dimensões batem e o resultado será uma matriz .
Passo 4
Agora o cálculo direto, explicando cada passo:
Partimos da hipótese
Multiplicamos os dois lados à esquerda por
(legal pelas dimensões):
Usando a associatividade da multiplicação de matrizes podemos reescrever os parênteses:
Pelo fato de
, obtemos
Usando a propriedade do elemento neutro da multiplicação,
e
. Assim
Passo 5
Comentário importante (para fixar e evitar armadilhas na prova):
- A razão de tudo funcionar é justamente que
é invertível. Sem inversa, não é possível “cancelar” pela esquerda em geral. - Contraexemplo quando
não é invertível: tome por exemplo Aqui não é invertível e , mas . Então a hipótese de invertibilidade é essencial.]
Passo 6
Dica prática para a prova (curta e eficiente):
- Ao ver uma igualdade
com quadrada, verifique se é invertível. Se for, multiplique à esquerda por e use associatividade e para concluir . É o padrão de “cancelamento à esquerda” em matrizes invertíveis.