Calcule os determinantes das seguintes matrizes. Recomenda-se fazer operações elementares para reduzir as contas.
\left[\begin{array}{ccc} 3 & -6 & 9 \\\\ -2 & 7 & -2 \\\\ 0 & 1 & 5 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccc} 3 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 4 \\\\ 2 & -3 & 6 \end{array}\right],\left[\begin{array}{cccc} 1 & 0 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 5 & 2 & 3 \end{array}\right],\left[\begin{array}{ccccc} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{array}\right]

Passo 1

O enunciado dá quatro matrizes e pede o determinante de cada uma. Vou listar claramente o que foi dado (cada matriz) e o que devo entregar:
  • Matriz M_1:
\begin{pmatrix} 3 & -6 & 9 \\\\ -2 & 7 & -2 \\\\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}
  • Matriz M_2:
\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 4 \\\\ 2 & -3 & 6 \end{pmatrix}
  • Matriz M_3:
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}
  • Matriz M_4:
\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}
O que é pedido: calcular \det(M_1), \det(M_2), \det(M_3) e \det(M_4).

Passo 2

Antes de calcular, algumas ideias e propriedades que vou usar (explicadas devagar para você poder aplicar na prova):
  • A definição prática que usarei:
    • Para uma matriz 3\times3 existe a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores; para 4\times4 e maiores é prático usar operações elementares para reduzir a matriz e depois multiplicar as entradas da diagonal (quando triangular).
  • Operações elementares em linhas e o efeito no determinante:
    1. Trocar duas linhas: muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
    2. Multiplicar uma linha por um escalar \lambda: multiplica o determinante por \lambda.
    3. Adicionar a um linha um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + k L_j): NÃO altera o determinante.
  • Expansão por cofatores (cofactor expansion): se expando pela linha i, \det(A)=\sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij}\det(M_{ij}),onde M_{ij} é a menor (matriz que sobra ao retirar a linha i e a coluna j). Essa é útil quando uma linha ou coluna tem zeros.
  • Para matrizes em bloco da forma \begin{pmatrix} A & B\\\\ 0 & D \end{pmatrix},isto é, com bloco 0 abaixo à esquerda, vale \det\begin{pmatrix}A & B\\\ 0 & D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D).
Agora vamos aplicar tudo isso passo a passo nos quatro casos.

Passo 3

Cálculo de \det(M_1), onde
M_1=\begin{pmatrix} 3 & -6 & 9 \\\\ -2 & 7 & -2 \\\\ 0 & 1 & 5 \end{pmatrix}.
Observação: a terceira linha tem 0 na primeira coluna, então uma expansão pela primeira coluna é conveniente (menor trabalho).
Expansão por cofatores pela primeira coluna (coluna 1):
\det(M_1)= (+)\,3\cdot\det\begin{pmatrix}7 & -2 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix} - (-2)\cdot\det\begin{pmatrix}-6 & 9 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix} + 0\cdot(\cdots).
Agora calculo as menores:
\det\begin{pmatrix}7 & -2 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix} = 7\cdot5 - (-2)\cdot1 = 35 + 2 = 37,
\det\begin{pmatrix}-6 & 9 \\[4pt] 1 & 5\end{pmatrix} = -6\cdot5 - 9\cdot1 = -30 - 9 = -39.
Substituindo:
\det(M_1)=3\cdot37 -(-2)\cdot(-39).
Cuidado com sinais: -(-2)\cdot(-39) = +2\cdot(-39) = -78. Portanto
\det(M_1)=111 - 78 = 33.]

Passo 4

Cálculo de \det(M_2), onde
M_2=\begin{pmatrix} 3 & 1 & -2 \\\\ 0 & 4 & 4 \\\\ 2 & -3 & 6 \end{pmatrix}.
Aqui a segunda linha tem 0 na primeira coluna; expandir pela segunda linha é prático.
Expansão por cofatores pela linha 2:
\det(M_2)=(-1)^{2+1}\cdot 0\cdot(\cdots)+(-1)^{2+2}\cdot 4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix} +(-1)^{2+3}\cdot 4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
Os sinais: (-1)^{2+2}=+1, (-1)^{2+3}=-1. Então
\det(M_2)=4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix} -4\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}.
Calculo as menores:
\det\begin{pmatrix}3 & -2\\[4pt] 2 & 6\end{pmatrix}=3\cdot6 - (-2)\cdot2 = 18 +4 = 22,
\det\begin{pmatrix}3 & 1\\[4pt] 2 & -3\end{pmatrix}=3\cdot(-3) - 1\cdot2 = -9 -2 = -11.
Substituindo:
\det(M_2)=4\cdot22 - 4\cdot(-11) = 88 + 44 = 132.]

Passo 5

Cálculo de \det(M_3), onde
M_3=\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\\\ 3 & 4 & -1 & 2 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 1 & 5 & 2 & 3 \end{pmatrix}.
Vou usar operações elementares para triangularizar com pivô 1 na primeira linha. Lembre-se: somar múltiplos de uma linha a outra NÃO altera o determinante, então posso eliminar sem alterar o valor.
Passo de eliminação usando L_1 como pivô:
  • L_2 \leftarrow L_2 - 3L_1: L_2 = (3,4,-1,2) - 3(1,0,3,2) = (0,4,-10,-4).
  • L_3 já tem zero na coluna 1, fica (0,3,1,2).
  • L_4 \leftarrow L_4 - L_1: L_4 = (1,5,2,3) - (1,0,3,2) = (0,5,-1,1).
A matriz fica
\begin{pmatrix} 1 & 0 & 3 & 2 \\\\ 0 & 4 & -10 & -4 \\\\ 0 & 3 & 1 & 2 \\\\ 0 & 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Como a primeira coluna tem zeros abaixo de 1, posso escrever
\det(M_3)=1\cdot\det(B),
onde B é a submatriz 3\times3 formada pelas colunas 2–4 e linhas 2–4:
B=\begin{pmatrix} 4 & -10 & -4 \\\\ 3 & 1 & 2 \\\\ 5 & -1 & 1 \end{pmatrix}.
Agora calculo \det(B) por expansão (ou pela fórmula de 3\times3). Uso a expansão pela primeira linha:
\det(B)=4\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} -(-10)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix} +(-4)\cdot\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & -1\end{pmatrix}.
Calculo cada menor:
\det\begin{pmatrix}1 & 2 \\[4pt] -1 & 1\end{pmatrix} = 1\cdot1 - 2\cdot(-1) = 1 + 2 = 3,
\det\begin{pmatrix}3 & 2 \\[4pt] 5 & 1\end{pmatrix} = 3\cdot1 - 2\cdot5 = 3 - 10 = -7,
\det\begin{pmatrix}3 & 1 \\[4pt] 5 & -1\end{pmatrix} = 3\cdot(-1) - 1\cdot5 = -3 - 5 = -8.
Substituindo:
\det(B)=4\cdot3 -(-10)\cdot(-7) + (-4)\cdot(-8).
Avalio termo a termo:
4\cdot3 = 12,\qquad -(-10)\cdot(-7)= - (10\cdot(-7)) = -(-70)= -70\\ \text{(atenção aos sinais)},\qquad (-4)\cdot(-8)=32.çã
Somando:
\det(B)=12 - 70 + 32 = -26.
Logo
\det(M_3)=1\cdot(-26) = -26.]

Passo 6

Cálculo de \det(M_4), onde
M_4=\begin{pmatrix} 1 & 3 & 1 & 5 & 3 \\\\ -2 & -7 & 0 & -4 & 2 \\\\ 0 & 0 & 1 & 0 & 1 \\\\ 0 & 0 & 2 & 1 & 1 \\\\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 \end{pmatrix}.
Observação estrutural: as três últimas linhas têm zeros nas duas primeiras colunas. Se particionar por blocos (primeiras 2 linhas/colunas e últimas 3 linhas/colunas), a matriz tem a forma
\begin{pmatrix} A & B\\[4pt] 0 & D \end{pmatrix},
com
A=\begin{pmatrix}1 & 3\\[4pt]-2 & -7\end{pmatrix},\qquad D=\begin{pmatrix}1 & 0 & 1\\[4pt]2 & 1 & 1\\[4pt]0 & 1 & 1\end{pmatrix}.
Para esse tipo de bloco vale \det(M_4)=\det(A)\det(D).
Calculo \det(A):
\det(A)=1\cdot(-7) - 3\cdot(-2) = -7 + 6 = -1.
Calculo \det(D). Posso expandir pela primeira linha de D:
\det(D)=1\cdot\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix} - 0\cdot(\cdots) + 1\cdot\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}.
As menores:
\det\begin{pmatrix}1 & 1\\[4pt]1 & 1\end{pmatrix}=1\cdot1 - 1\cdot1 = 0,
\det\begin{pmatrix}2 & 1\\[4pt]0 & 1\end{pmatrix}=2\cdot1 - 1\cdot0 = 2.
Logo
\det(D)=0 + 1\cdot 2 = 2.
Portanto
\det(M_4)=\det(A)\det(D)=(-1)\cdot 2 = -2.]

Resposta

\det(M_1)=33
\det(M_2)=132
\det(M_3)=-26
\det(M_4)=-2

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