O que é pedido: calcular \det(M_1), \det(M_2), \det(M_3) e \det(M_4).
Passo 2
Antes de calcular, algumas ideias e propriedades que vou usar (explicadas devagar para você poder aplicar na prova):
A definição prática que usarei:
Para uma matriz 3\times3 existe a regra de Sarrus ou a expansão por cofatores; para 4\times4 e maiores é prático usar operações elementares para reduzir a matriz e depois multiplicar as entradas da diagonal (quando triangular).
Operações elementares em linhas e o efeito no determinante:
Trocar duas linhas: muda o sinal do determinante (multiplica por -1).
Multiplicar uma linha por um escalar \lambda: multiplica o determinante por \lambda.
Adicionar a um linha um múltiplo de outra linha (por exemplo L_i \leftarrow L_i + k L_j): NÃO altera o determinante.
Expansão por cofatores (cofactor expansion): se expando pela linha i,\det(A)=\sum_{j} (-1)^{i+j} a_{ij}\det(M_{ij}),onde M_{ij} é a menor (matriz que sobra ao retirar a linha i e a coluna j). Essa é útil quando uma linha ou coluna tem zeros.
Para matrizes em bloco da forma\begin{pmatrix} A & B\\\\ 0 & D \end{pmatrix},isto é, com bloco 0 abaixo à esquerda, vale\det\begin{pmatrix}A & B\\\ 0 & D\end{pmatrix}=\det(A)\det(D).
Agora vamos aplicar tudo isso passo a passo nos quatro casos.
Vou usar operações elementares para triangularizar com pivô 1 na primeira linha. Lembre-se: somar múltiplos de uma linha a outra NÃO altera o determinante, então posso eliminar sem alterar o valor.
Observação estrutural: as três últimas linhas têm zeros nas duas primeiras colunas. Se particionar por blocos (primeiras 2 linhas/colunas e últimas 3 linhas/colunas), a matriz tem a forma