Sejam X e Y v.a.s independentes, cada uma com distribuição uniforme em [0,1].
Calcule:
P(|XY-1| <= 12)

Passo 1

Beleza, o enunciado diz: “X e Y são variáveis aleatórias independentes, cada uma com distribuição uniforme em [0,1]. Calcule
P!l(l|tfrac X Y - 1r| <= tfrac12r)
Isso é probabilidade em variáveis contínuas—vamos usar densidade conjunta e integrar sobre a região onde .

Passo 2

Primeiro transformamos a desigualdade -tfrac12 <= tfrac X Y - 1 <= tfrac12 Long<=ftrightarrow tfrac12 <= tfrac X Y <= tfrac32 .
Isso equivale a
12,y ;<=; x ;<=; 32,y
Ou seja, para cada fixo, queremos tal que

Passo 3

Como X e Y são independentes e uniformes em [0,1], a densidade conjunta vale P = integral duplasubstack0<= y<=112y<= x<=mintfrac32y,1 1;dx,dy no quadrado .
Então
Repara que ultrapassa 1 quando . Logo dividimos a integral em duas faixas de :
  1. : vai de até .
  2. : vai de até 1.

Passo 4

Calculamos cada parte:
  1. Para integral0^2/3!l(tfrac32y - tfrac12yr),dy =integral0^2/3 y,dy =l[tfracy^22r]0^2/3 =tfrac(2/3)^22 =tfrac4/92 =tfrac29 :
integral2/3^1!l(1 - tfrac12yr),dy =l[y - tfracy^24r]2/3^1 =l(1 - tfrac14r) - l(tfrac23 - tfrac(2/3)^24r) =tfrac34 - l(tfrac23 - tfrac4/94r) =tfrac34 - l(tfrac23 - tfrac19r) =tfrac34 - tfrac59 =tfrac27-2036 =tfrac736
  1. Para :

Passo 5

Somando as duas partes:
P = tfrac29 + tfrac736 = tfrac836 + tfrac736 = tfrac1536 = tfrac512

Resposta

P!l(l|tfrac X Y - 1r|<=tfrac12r) =512

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