Sejam (k) uma constante e (\mathbf{F}=\mathbf{F}(x, y, z), \mathbf{G}=\mathbf{G}(x, y, z) \mathrm{e}) (\varphi=\varphi(x, y, z)). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
(\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{F})=0)
(\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{F})=0)
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial
de componentes suficientemente suaves, vale
Estamos em cálculo vetorial usando as definições de divergência e de rotacional e o teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais de segunda ordem).
Passo 2
Escrevemos
em componentes como
Por definição, o rotacional de
é o vetor
onde, por exemplo,
.
Passo 3
Agora aplicamos a divergência ao rotacional:
Passo 4
Expandindo as derivadas de cada parcela, obtemos
onde, por exemplo,
.
Passo 5
Pelo teorema de Clairaut, as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas e comutam:
Logo cada termo positivo cancela um termo negativo, e o somatório é zero.