Sejam (k) uma constante e (\mathbf{F}=\mathbf{F}(x, y, z), \mathbf{G}=\mathbf{G}(x, y, z) \mathrm{e}) (\varphi=\varphi(x, y, z)). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
(\operatorname{div}(\operatorname{rot} \mathbf{F})=0)

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, para um campo vetorial F=F(x,y,z) de componentes suficientemente suaves, vale
div(rotF) = 0
Estamos em cálculo vetorial usando as definições de divergência e de rotacional e o teorema de Clairaut (igualdade das derivadas parciais de segunda ordem).

Passo 2

Escrevemos F em componentes como
F(x,y,z) = l(P(x,y,z),,Q(x,y,z),,R(x,y,z)r)
Por definição, o rotacional de F é o vetor
rotF = nablatimesF = l(Ry - Qz,;Pz - Rx,;Qx - Pyr),
onde, por exemplo, Ry=partial R/partial y.

Passo 3

Agora aplicamos a divergência ao rotacional:
div(rotF) = nablacdot(nablatimesF) = partialpartial x(Ry - Qz) + partialpartial y(Pz - Rx) + partialpartial z(Qx - Py)

Passo 4

Expandindo as derivadas de cada parcela, obtemos
div(rotF) = Ryx - Qzx + Pzy - Rxy + Qxz - Pyz,
onde, por exemplo, Ryx=partial^2R/(partial xpartial y).

Passo 5

Pelo teorema de Clairaut, as derivadas parciais de segunda ordem são contínuas e comutam:
Ryx=Rxy, Qxz=Qzx, Pzy=Pyz
Logo cada termo positivo cancela um termo negativo, e o somatório é zero.

Resposta

div(rotF) = 0

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