Sejam (k) uma constante e (\mathbf{F}=\mathbf{F}(x, y, z), \mathbf{G}=\mathbf{G}(x, y, z) \mathrm{e}) (\varphi=\varphi(x, y, z)). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
(\operatorname{rot}(k \mathbf{F})=k \operatorname{rot} \mathbf{F})
(\operatorname{rot}(k \mathbf{F})=k \operatorname{rot} \mathbf{F})
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, dado um escalar constante
e um campo vetorial
, vale
Estamos aplicando a definição do rotacional (ou curl) de um campo vetorial e usando que derivadas de um produto com constante podem “sair” do operador.
Passo 2
Lembremos a definição componente a componente. Se
então
Passo 3
Definimos o campo
. Suas componentes são
Para calcular
, vamos aplicar a mesma fórmula, por exemplo na primeira componente:
Passo 4
Como
é constante, podemos tirá-lo fora da derivada:
Logo
O mesmo raciocínio vale para as outras duas componentes.
Passo 5
Concluímos que cada componente de
é
vezes a correspondente de
. Portanto,