Sejam (k) uma constante e (\mathbf{F}=\mathbf{F}(x, y, z), \mathbf{G}=\mathbf{G}(x, y, z) \mathrm{e}) (\varphi=\varphi(x, y, z)). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
(\operatorname{rot}(k \mathbf{F})=k \operatorname{rot} \mathbf{F})

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, dado um escalar constante k e um campo vetorial F=F(x,y,z), vale
rot(kF) = k,rotF
Estamos aplicando a definição do rotacional (ou curl) de um campo vetorial e usando que derivadas de um produto com constante podem “sair” do operador.

Passo 2

Lembremos a definição componente a componente. Se
F = l(F1(x,y,z),,F2(x,y,z),,F3(x,y,z)r),
então
rotF = l(, partial F3partial y-partial F2partial z,; partial F1partial z-partial F3partial x,; partial F2partial x-partial F1partial y r)

Passo 3

Definimos o campo H=k,F. Suas componentes são
H = (kF1,;kF2,;kF3)
Para calcular rotH, vamos aplicar a mesma fórmula, por exemplo na primeira componente:
(rotH)1 = partial (kF3)partial y - partial (kF2)partial z

Passo 4

Como k é constante, podemos tirá-lo fora da derivada:
partial (kF3)partial y = k,partial F3partial y, partial (kF2)partial z = k,partial F2partial z
Logo
(rotH)1 = kl(partial F3partial y-partial F2partial zr) = k,(rotF)1
O mesmo raciocínio vale para as outras duas componentes.

Passo 5

Concluímos que cada componente de rot(kF) é k vezes a correspondente de rotF. Portanto,

Resposta

rot(kF) = k,rotF

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