Sejam (k) uma constante e (\mathbf{F}=\mathbf{F}(x, y, z), \mathbf{G}=\mathbf{G}(x, y, z) \mathrm{e}) (\varphi=\varphi(x, y, z)). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
(\operatorname{div}(k \mathbf{F})=k \operatorname{div} \mathbf{F})
(\operatorname{div}(k \mathbf{F})=k \operatorname{div} \mathbf{F})
Passo 1
O enunciado pede para provar a identidade de linearidade da divergência quando multiplicamos um campo vetorial por uma constante. O conteúdo envolvido é a definição da divergência em coordenadas cartesianas e a propriedade de que derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada da função.
Passo 2
Seja
. Então
Pela definição de divergência em coordenadas cartesianas,
Como
é constante e as derivadas parciais são lineares, temos
Substituindo de volta,