Sejam (k) uma constante e (\mathbf{F}=\mathbf{F}(x, y, z), \mathbf{G}=\mathbf{G}(x, y, z) \mathrm{e}) (\varphi=\varphi(x, y, z)). Prove as seguintes identidades, supondo que todas as derivadas envolvidas existam e sejam contínuas.
(\operatorname{div}(k \mathbf{F})=k \operatorname{div} \mathbf{F})

Passo 1

O enunciado pede para provar a identidade de linearidade da divergência quando multiplicamos um campo vetorial por uma constante. O conteúdo envolvido é a definição da divergência em coordenadas cartesianas e a propriedade de que derivada de uma constante vezes função é a constante vezes a derivada da função.

Passo 2

Seja F(x,y,z) = (P(x,y,z),,Q(x,y,z),,R(x,y,z)). Então
k,F(x,y,z) = l(kP(x,y,z),,kQ(x,y,z),,kR(x,y,z)r)
Pela definição de divergência em coordenadas cartesianas,
div(kF) =partialpartial xl(kPr) +partialpartial yl(kQr) +partialpartial zl(kRr)
Como k é constante e as derivadas parciais são lineares, temos
partialpartial xl(kPr) = k,partial Ppartial x, partialpartial yl(kQr) = k,partial Qpartial y, partialpartial zl(kRr) = k,partial Rpartial z
Substituindo de volta,
div(kF) = kpartial Ppartial x + kpartial Qpartial y + kpartial Rpartial z = kgl(partial Ppartial x+partial Qpartial y+partial Rpartial zgr) = k,divF

Resposta

div(kF) = k,divF

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