Sejam lançados 20 dados honestos. Determine a probabilidade aproximada de que a soma obtida esteja entre 30 e 40, considerando os casos exclusivos.

Passo 1

O enunciado pede a probabilidade de que, ao se lançar 20 dados honestos, a soma S dos resultados caia estritamente entre 30 e 40. O conteúdo principal aqui é aproximação por Teorema Central do Limite (TCL), pois 20 variáveis independentes já permite aproximar a soma por uma normal.

Passo 2

Para cada dado definimos a v.a. X_i como o resultado do i-ésimo dado. Sabemos que para um dado honesto de faces \{1,2,3,4,5,6\}:
E[X_i] = \frac{1+2+3+4+5+6}{6} = 3{,}5,
\mathrm{Var}(X_i) = \frac{(6^2-1)}{12} = \frac{35}{12} \approx 2{,}9167.

Passo 3

A soma S = \sum_{i=1}^{20} X_i terá então
E[S] = 20 \times 3{,}5 = 70,
\mathrm{Var}(S) = 20 \times \frac{35}{12} = \frac{700}{12} \approx 58{,}333,
\sigma_S = \sqrt{\mathrm{Var}(S)} \approx 7{,}6376.
Pelo TCL, S é aproximadamente \mathcal{N}(70,\,7{,}6376^2).

Passo 4

Para tratar o fato de S ser discreta e o enunciado pedir estritamente 30<S<40, usamos correção de continuidade:
P(30<S<40) \approx P\bigl(30{,}5 \le S \le 39{,}5\bigr).
Convertendo em variáveis padrão Z\sim\mathcal{N}(0,1):
z_1 = \frac{30{,}5 - 70}{7{,}6376} \approx -5{,}17, \qquad z_2 = \frac{39{,}5 - 70}{7{,}6376} \approx -3{,}99.

Passo 5

Na tabela da normal padrão:
\Phi(-3{,}99)\approx 3{,}2\times 10^{-5}, \qquad \Phi(-5{,}17)\approx 1{,}2\times 10^{-7}.
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P(30<S<40)\approx \Phi(-3{,}99) \;-\;\Phi(-5{,}17) \approx 3{,}2\times 10^{-5}\;-\;1{,}2\times 10^{-7} \approx 3{,}2\times 10^{-5}.

Resposta

A probabilidade aproximada é de
3{,}2\times 10^{-5}.

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