A vida útil de uma determinada lâmpada segue uma distribuição exponencial com média \mu=10 dias. Assim que uma lâmpada se queima, ela é substituída por outra. Qual é a probabilidade de que, em um ano, sejam necessárias mais de 50 lâmpadas?

Passo 1

O enunciado diz que a vida útil de cada lâmpada é exponencial com média \mu=10 dias e que, ao queimar, ela é imediatamente substituída. Em t=365 dias (um ano), queremos a probabilidade de usar mais de 50 lâmpadas. Esse é um processo de renovação com tempos exponenciais, o que equivale a um processo de Poisson para o número de eventos (trocas) em um intervalo fixo.

Passo 2

Num processo de Poisson com parâmetro de taxa \lambda, os tempos entre eventos são \mathrm{Exp}(\lambda) com média 1/\lambda. Aqui temos
\lambda = \frac{1}{\mu} = \frac{1}{10}\,.
Logo, o número de lâmpadas usadas em 365 dias é
N(365)\sim \mathrm{Poisson}(\lambda\cdot 365)
com \lambda\cdot 365 = 365/10 = 36{,}5.

Passo 3

Queremos
P\bigl(N(365)>50\bigr) =1 - P\bigl(N(365)\le50\bigr) =1 - \sum_{k=0}^{50}e^{-36.5}\,\frac{36.5^k}{k!}\,.

Passo 4

Para um valor aproximado, usamos a aproximação normal a N\sim\mathrm{Poisson}(36.5), com
E[N]=36.5,\quad \mathrm{Var}[N]=36.5.
Aplicando correção de continuidade,
P(N>50)\approx 1 - \Phi\!\Bigl(\frac{50.5 - 36.5}{\sqrt{36.5}}\Bigr) =1 - \Phi(2{,}317)\approx0{,}0103.

Resposta

1 - \sum_{k=0}^{50}e^{-36.5}\,\frac{36.5^k}{k!} \approx0{,}0103.

Exercícios relacionados