Suponha que X_{i}, para i=1, \ldots, 10, sejam variáveis aleatórias independentes, cada uma distribuída segundo uma distribuição de Bernoulli p=0,5. Usando o Teorema Central do Limite (TCL), calcule uma aproximação para:
P\left(\sum_{i=1}^{10} X_{i}>6\right)

Passo 1

O enunciado nos dá 10 variáveis aleatórias independentes X_{i}\sim\mathrm{Bernoulli}(p=0,5), e pede a aproximação de
P\Bigl(\sum_{i=1}^{10}X_{i}>6\Bigr)
usando o Teorema Central do Limite. Vamos tratar S=\sum_{i=1}^{10}X_{i} como aproximadamente normal para n razoavelmente grande.

Passo 2

Calculamos a média e a variância de S:
\mu = E[S]=10\cdot0,5=5,
\sigma^{2}=\mathrm{Var}(S)=10\cdot0,5\cdot0,5=2,5,
portanto
\sigma=\sqrt{2,5}\approx1,5811.

Passo 3

Sem usar correção de continuidade, padronizamos
P\Bigl(S>6\Bigr)\approx P\Bigl(Z>\frac{6-5}{\sqrt{2,5}}\Bigr)
=1-\Phi(0,6325)\approx1-0,7357=0,2643,
onde Z\sim N(0,1) e \Phi é sua função de distribuição acumulada.

Passo 4

Como refinamento, aplicando correção de continuidade para P(S\ge7)=P(S>6{,}5), teríamos
P(S>6,5)\approx P\Bigl(Z>\frac{6,5-5}{\sqrt{2,5}}\Bigr) =1-\Phi(0,9487)\approx1-0,8289=0,1711.

Resposta

A aproximação pelo TCL sem correção de continuidade é
P\Bigl(\sum_{i=1}^{10}X_{i}>6\Bigr)\approx0,2643.

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