Suponha que as alturas dos alunos de nossa faculdade tenham distribuição normal com \sigma=15 \mathrm{~cm}. Foi retirada uma amostra de 100 alunos, obtendo-se \bar{x}=175 \mathrm{~cm}. Construir um intervalo de confiança para a verdadeira altura média dos alunos com nível de confiança de 95 \%. Use a Tabela 1.1. R. IC =[172,06 ; 177,94].

Passo 1

O enunciado diz que as alturas dos alunos seguem uma distribuição normal com desvio padrão populacional \sigma = 15\text{ cm}. Retirou-se uma amostra de tamanho n = 100 e encontrou-se a média amostral \bar{x} = 175\text{ cm}. Queremos um intervalo de confiança de 95\% para a média verdadeira \mu.

Passo 2

Como \sigma é conhecida e a amostra é grande ( n\ge30), usamos a distribuição normal padrão. O quantil crítico para nível de confiança de 95\% é
z_{0,975} = 1,96

Passo 3

Calculamos o erro padrão da média amostral:
\text{SE} = \frac{\sigma}{\sqrt{n}} = \frac{15}{\sqrt{100}} = 1,5\text{ cm}.

Passo 4

O erro máximo de estimação (margem de erro) é
E = z_{0,975}\times \text{SE} = 1,96\times 1,5 = 2,94\text{ cm}.

Passo 5

O intervalo de confiança de 95\% para \mu é dado por
\bigl[\bar{x} - E;\,\bar{x} + E\bigr] = [175 - 2,94;\;175 + 2,94] = [172,06;\;177,94].

Resposta

O intervalo de confiança de 95\% para a altura média é [172,06; 177,94] cm.

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