Sejam
números reais positivos. Prove que
Esta desigualdade é conhecida como desigualdade das médias aritmética e geométrica.
Passo 1
O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais positivos
, vale
Informações dadas e objetivo:
- Os números
são positivos: para todo . - Devemos mostrar que a média aritmética dos
é maior ou igual à média geométrica dos . - Além de provar a desigualdade, ao longo da resolução vou explicar os passos e conceitos usados, e indicar quando ocorre igualdade.
Passo 2
Definições e ideia básica (passo para aprender o que usamos).
- A média aritmética (AM) dos
números é
- A média geométrica (GM) dos
números é
Objetivo: provar
.
Primeiro, vamos provar o caso
, que é a base que usaremos várias vezes. Para
queremos mostrar
Prova elementar do caso
: considere a diferença de quadrados
Expandindo (vou mostrar cada etapa da expansão):
Como isso é
, temos
ou seja
Comentário didático: esse é um truque clássico — sempre que aparece uma raiz quadrada, pensar em quadrados ajuda porque quadrado é não negativo.
Passo 3
Provar o caso quando
é potência de
(estratégia por duplicação). Vou mostrar que se a desigualdade vale para
, então vale para
. Começamos sabendo que vale para
(Passo 2); usando repetidamente, provamos para
.
Seja verdadeira a desigualdade para um certo
: para quaisquer positivos
tem-se
Agora tomemos
números positivos
. Separe-os em dois blocos de
termos:
- Primeiro bloco:
. Defina e . - Segundo bloco:
. Defina e .
Pelo caso para
(hipótese de indução),
Pela desigualdade do caso
(Passo 2) aplicada a
e
,
Agora note que a média aritmética dos
números é exatamente
, e a média geométrica dos
números é
Juntando tudo:
A desigualdade para
está provada. Como sabemos o caso
, por iterações temos a desigualdade para todo
da forma
.
Didática: a ideia é agrupar em blocos e aplicar a hipótese no bloco e depois a desigualdade para dois termos entre as médias dos blocos.
Passo 4
Extensão para todo
natural (tratamento do caso geral não necessariamente potência de
). Este é o passo que transforma a prova para potências de
em uma prova para qualquer
.
Sejam dados
. Defina a média geométrica original
Escolha um inteiro
que seja potência de
e tal que
. Por exemplo, tome
com
.
Construa
números
assim:
- Para
tome . - Para
tome (ou seja, complete a lista com cópias do ).
Cálculo da média geométrica dos
:
Portanto a GM dos
é exatamente
. Pelo Passo 3 (já vale para
, potência de
),
Escrevendo a soma:
Multiplicando por
:
Subtraindo
de ambos os lados:
Dividindo por
(positivo):
Pronto — isso mostra a desigualdade para qualquer
.
Comentário didático: a estratégia foi completar com cópias do próprio valor da média geométrica; isso mantém a GM do conjunto completo igual à GM original, e permite usar o caso potência de 2.
Passo 5
Condição de igualdade e observações finais (motivação para a prova na prova).
- Quando ocorre igualdade na desigualdade AM
GM? Em cada passo usamos desigualdades que têm igualdade somente quando os termos comparados são iguais: - No caso
, ocorre se, e somente se, . - No passo de duplicação (Passo 3) foram usados dois lugares com igualdade apenas se os dois blocos têm todas as componentes iguais entre si.
- No passo de completar até potência de
(Passo 4) completamos com . Para ter igualdade ao final é necessário que cada .
Portanto, a igualdade na desigualdade final ocorre se, e somente se,(todos os números são iguais).
- No caso
Pequeno exemplo numérico para fixar (você pode usar na prova para entender): para
,
e de fato
.