Sejam a_{1}, \ldots, a_{n} números reais positivos. Prove que
\frac{a_{1}+\ldots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} \cdots a_{n}} .
Esta desigualdade é conhecida como desigualdade das médias aritmética e geométrica.

Passo 1

O enunciado pede para provar que, para quaisquer números reais positivos a_{1},\dots,a_{n}, vale
\frac{a_{1}+\ldots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}.
Informações dadas e objetivo:
  • Os números a_{1},\dots,a_{n} são positivos: a_{i}>0 para todo i.
  • Devemos mostrar que a média aritmética dos a_{i} é maior ou igual à média geométrica dos a_{i}.
  • Além de provar a desigualdade, ao longo da resolução vou explicar os passos e conceitos usados, e indicar quando ocorre igualdade.

Passo 2

Definições e ideia básica (passo para aprender o que usamos).
  • A média aritmética (AM) dos n números é
\text{AM}=\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n}.
  • A média geométrica (GM) dos n números é
\text{GM}=\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}.
Objetivo: provar \text{AM}\ge\text{GM}.
Primeiro, vamos provar o caso n=2, que é a base que usaremos várias vezes. Para a,b>0 queremos mostrar
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.
Prova elementar do caso n=2: considere a diferença de quadrados
\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^{2}\ge 0.
Expandindo (vou mostrar cada etapa da expansão):
\bigl(\sqrt{a}-\sqrt{b}\bigr)^{2}=a-2\sqrt{ab}+b.
Como isso é \ge 0, temos
a+b \ge 2\sqrt{ab},
ou seja
\frac{a+b}{2}\ge\sqrt{ab}.
Comentário didático: esse é um truque clássico — sempre que aparece uma raiz quadrada, pensar em quadrados ajuda porque quadrado é não negativo.

Passo 3

Provar o caso quando n é potência de 2 (estratégia por duplicação). Vou mostrar que se a desigualdade vale para n, então vale para 2n. Começamos sabendo que vale para n=2 (Passo 2); usando repetidamente, provamos para n=4,8,16,\dots.
Seja verdadeira a desigualdade para um certo n: para quaisquer positivos x_{1},\dots,x_{n} tem-se
\frac{x_{1}+\cdots+x_{n}}{n}\ge\sqrt[n]{x_{1}\cdots x_{n}}.
Agora tomemos 2n números positivos a_{1},\dots,a_{2n}. Separe-os em dois blocos de n termos:
  • Primeiro bloco: a_{1},\dots,a_{n}. Defina X=\dfrac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n} e G_1=\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}.
  • Segundo bloco: a_{n+1},\dots,a_{2n}. Defina Y=\dfrac{a_{n+1}+\cdots+a_{2n}}{n} e G_2=\sqrt[n]{a_{n+1}\cdots a_{2n}}.
Pelo caso para n (hipótese de indução),
X\ge G_1,\qquad Y\ge G_2.
Pela desigualdade do caso n=2 (Passo 2) aplicada a X e Y,
\frac{X+Y}{2}\ge\sqrt{XY}.
Agora note que a média aritmética dos 2n números é exatamente \dfrac{X+Y}{2}, e a média geométrica dos 2n números é
\sqrt[2n]{a_{1}\cdots a_{2n}}=\sqrt{G_1 G_2}.
Juntando tudo:
\frac{X+Y}{2}\ge\sqrt{XY}\ge\sqrt{G_1 G_2}=\sqrt[2n]{a_{1}\cdots a_{2n}}.
A desigualdade para 2n está provada. Como sabemos o caso n=2, por iterações temos a desigualdade para todo n da forma n=2^{k}.
Didática: a ideia é agrupar em blocos e aplicar a hipótese no bloco e depois a desigualdade para dois termos entre as médias dos blocos.

Passo 4

Extensão para todo n natural (tratamento do caso geral não necessariamente potência de 2). Este é o passo que transforma a prova para potências de 2 em uma prova para qualquer n.
Sejam dados a_{1},\dots,a_{n}>0. Defina a média geométrica original
g=\sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}.
Escolha um inteiro m que seja potência de 2 e tal que m\ge n. Por exemplo, tome m=2^{k} com 2^{k-1}<n\le2^{k}.
Construa m números b_{1},\dots,b_{m} assim:
  • Para i=1,\dots,n tome b_{i}=a_{i}.
  • Para i=n+1,\dots,m tome b_{i}=g (ou seja, complete a lista com cópias do g).
Cálculo da média geométrica dos b_{i}:
\sqrt[m]{b_{1}\cdots b_{m}}=\sqrt[m]{(a_{1}\cdots a_{n})\cdot g^{\,m-n}} =\sqrt[m]{g^{n}\cdot g^{m-n}}=\sqrt[m]{g^{m}}=g.
Portanto a GM dos b_{i} é exatamente g. Pelo Passo 3 (já vale para m, potência de 2),
\frac{b_{1}+\cdots+b_{m}}{m}\ge g.
Escrevendo a soma:
\frac{a_{1}+\cdots+a_{n} + (m-n)g}{m}\ge g.
Multiplicando por m:
a_{1}+\cdots+a_{n} + (m-n)g \ge m g.
Subtraindo (m-n)g de ambos os lados:
a_{1}+\cdots+a_{n} \ge n g.
Dividindo por n (positivo):
\frac{a_{1}+\cdots+a_{n}}{n} \ge g = \sqrt[n]{a_{1}\cdots a_{n}}.
Pronto — isso mostra a desigualdade para qualquer n.
Comentário didático: a estratégia foi completar com cópias do próprio valor da média geométrica; isso mantém a GM do conjunto completo igual à GM original, e permite usar o caso potência de 2.

Passo 5

Condição de igualdade e observações finais (motivação para a prova na prova).
  • Quando ocorre igualdade na desigualdade AM \ge GM? Em cada passo usamos desigualdades que têm igualdade somente quando os termos comparados são iguais:
    • No caso n=2, \dfrac{a+b}{2}=\sqrt{ab} ocorre se, e somente se, a=b.
    • No passo de duplicação (Passo 3) foram usados dois lugares com igualdade apenas se os dois blocos têm todas as componentes iguais entre si.
    • No passo de completar até potência de 2 (Passo 4) completamos com g. Para ter igualdade ao final é necessário que cada a_{i}=g.
      Portanto, a igualdade na desigualdade final ocorre se, e somente se, a_{1}=\cdots=a_{n} (todos os números são iguais).
Pequeno exemplo numérico para fixar (você pode usar na prova para entender): para a_{1}=1,a_{2}=4,
\text{AM}=\frac{1+4}{2}=2{,}5,\qquad \text{GM}=\sqrt{1\cdot4}=2,
e de fato 2{,}5\ge2.

Resposta

\displaystyle \frac{a_{1}+\ldots+a_{n}}{n} \geq \sqrt[n]{a_{1} \cdots a_{n}}

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