Seja F: R^3 R^3 o campo vetorial dado por
F(x, y, z)=(e^y+2 z, x e^y+2 z, 2 x e^y+2 z)
Se lambda é o caminho cujo traço é uma circunferência de raio 2 e centro na origem contida no plano y z, calcular
ointlambda F cdot d lambda

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial F(x, y, z) = (e^y+2 z,, x e^y+2 z,, 2 x e^y+2 z) ao longo de um caminho lambda que é uma circunferência de raio 2, centrada na origem e contida no plano yz.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais e integrais de linha. Basicamente, uma integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo de um caminho específico. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final!

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar o caminho lambda. Como ele é uma circunferência de raio 2 no plano yz e centrada na origem, podemos parametrizá-lo usando um ângulo theta. Como estamos no plano yz, a coordenada x será sempre zero.
Então, a parametrização fica assim:
lambda(theta) = (0,, 2 cos theta,, 2 sin theta), theta in [0, 2pi]

Passo 3

Agora, precisamos encontrar a derivada dessa parametrização em relação a theta, que é necessária para calcular o diferencial dlambda.
Vamos derivar cada componente:
dlambdadtheta = (0,, -2 sin theta,, 2 cos theta)

Passo 4

Em seguida, vamos avaliar o campo vetorial F ao longo do caminho lambda(theta). Substituindo x = 0, y = 2 cos theta e z = 2 sin theta na expressão de F:
F(lambda(theta)) = (e^2 cos theta + 2(2 sin theta),, 0 cdot e^2 cos theta + 4 sin theta,, 2 cdot 0 cdot e^2 cos theta + 4 sin theta) = (e^2 cos theta + 4 sin theta,, 0,, 0)

Passo 5

Agora, vamos calcular o produto escalar F(lambda(theta)) cdot dlambdadtheta:
F(lambda(theta)) cdot dlambdadtheta = e^2 cos theta + 4 sin theta cdot 0 + 0 cdot (-2 sin theta) + 0 cdot 2 cos theta = 0

Passo 6

Finalmente, para calcular a integral de linha, integramos esse produto escalar de theta = 0 até theta = 2pi:
ointlambda F cdot dlambda = integral0^2pi 0 , dtheta = 0

Resposta

A integral de linha de F ao longo do caminho lambda é igual a 0.

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