Seja
o campo vetorial dado por
Se
é o caminho cujo traço é uma circunferência de raio 2 e centro na origem contida no plano
, calcular
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a gente tem aqui! A questão pede para calcular a integral de linha do campo vetorial
ao longo de um caminho
que é uma circunferência de raio 2, centrada na origem e contida no plano
.
Para resolver isso, vamos precisar entender um pouco sobre campos vetoriais e integrais de linha. Basicamente, uma integral de linha calcula o trabalho realizado pelo campo vetorial ao longo de um caminho específico. Vamos seguir passo a passo para chegar na resposta final!
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar o caminho
. Como ele é uma circunferência de raio 2 no plano
e centrada na origem, podemos parametrizá-lo usando um ângulo
. Como estamos no plano
, a coordenada
será sempre zero.
Então, a parametrização fica assim:
Passo 3
Agora, precisamos encontrar a derivada dessa parametrização em relação a
, que é necessária para calcular o diferencial
.
Vamos derivar cada componente:
Passo 4
Em seguida, vamos avaliar o campo vetorial
ao longo do caminho
. Substituindo
,
e
na expressão de
:
Passo 5
Agora, vamos calcular o produto escalar
:
Passo 6
Finalmente, para calcular a integral de linha, integramos esse produto escalar de
até
:
Resposta
A integral de linha de
ao longo do caminho
é igual a 0.