Sejam
variáveis aleatórias iid, com distribuição
. Para cada uma das quantidades abaixo, detalhando passo a passo, identifique sua distribuição, média, variância e graus de liberdade quando for o caso.
;
Passo 1
Beleza, o exercício diz que temos
iid com distribuição normal
. A tarefa é, para a estatística
identificar de forma bem didática qual é a distribuição dela, qual é a média, a variância e, se der, os graus de liberdade. Vamos usar conceitos de transformação linear de variáveis normais, expectativa e variância de somas e escalas de variáveis aleatórias.
Passo 2
Teoria rápida:
- Se
então para constante , . - Se
e são independentes, então .
Como nossossão independentes e idênticos, podemos somá-los e depois escalar.
Passo 3
Distribuição da soma
:
- Cada
é . - Pela propriedade de soma:
Passo 4
Transformando em média amostral:
.
Pela regra de escala de variável normal:
Pela regra de escala de variável normal:
Passo 5
Agora, média e variância da
:
- Esperança:
- Variância:
Passo 6
Graus de liberdade:
Essa noção costuma aparecer em estatísticas baseadas em ou
, mas para a própria
não se fala em “graus de liberdade” – ela é simplesmente normal.
Essa noção costuma aparecer em estatísticas baseadas em
Resposta
- média
, - variância ,
- não se aplica graus de liberdade.