Sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias iid, com distribuição N(mu, sigma^2). Para cada uma das quantidades abaixo, detalhando passo a passo, identifique sua distribuição, média, variância e graus de liberdade quando for o caso.
barX=1n sumi=1^n Xi;

Passo 1

Beleza, o exercício diz que temos bar X = 1nsumi=1^n Xi, iid com distribuição normal . A tarefa é, para a estatística
identificar de forma bem didática qual é a distribuição dela, qual é a média, a variância e, se der, os graus de liberdade. Vamos usar conceitos de transformação linear de variáveis normais, expectativa e variância de somas e escalas de variáveis aleatórias.

Passo 2

Teoria rápida:
  1. Se então para constante , .
  2. Se e são independentes, então .
    Como nossos são independentes e idênticos, podemos somá-los e depois escalar.

Passo 3

Distribuição da soma S = X1+cdots+Xn ;sim; Nl(nmu,;nsigma^2r) :
  • Cada é .
  • Pela propriedade de soma:

Passo 4

Transformando em média amostral: bar X = 1n S sim N!l(tfrac1n,(nmu),;tfrac1n^2,(nsigma^2)r) = N!l(mu,;sigma^2nr) .
Pela regra de escala de variável normal:

Passo 5

Agora, média e variância da E[bar X] = mu :
  • Esperança:
Var(bar X) = sigma^2n
  • Variância:

Passo 6

Graus de liberdade:
Essa noção costuma aparecer em estatísticas baseadas em ou , mas para a própria não se fala em “graus de liberdade” – ela é simplesmente normal.

Resposta

, com
  • média ,
  • variância ,
  • não se aplica graus de liberdade.

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