Sejam X1, X2, ldots, Xn variáveis aleatórias iid, com distribuição N(mu, sigma^2). Para cada uma das quantidades abaixo, detalhando passo a passo, identifique sua distribuição, média, variância e graus de liberdade quando for o caso.
(barX-mu) raiznS;

Passo 1

Beleza, vamos do começo: a questão fala de T ;=;(bar X - mu),raiznS,, i.i.d. seguindo bar X = 1nsumi=1^n Xi e S^2 = 1n-1sumi=1^n (Xi - bar X)^2 e pede pra gente investigar a distribuição da estatística
onde
O conteúdo é: distribuições amostrais de média e variância em Normal, estatística de Student, grau de liberdade etc. Vamos precisar usar:
  1. que ,
  2. que (ou ) tem distribuição e é independente de ,
  3. definição da estatística .

Passo 2

Primeiro, lembrando a teoria da amostra normal:
  • bar X ;sim; N!l(mu,;sigma^2nr) é normal com média (n-1)S^2sigma^2 e variância , ou seja
  • A soma dos quadrados padronizada segue uma com graus de liberdade.
Também vem de teoria que e são independentes quando a população é normal.

Passo 3

Agora montamos a estatística Z = bar X - musigma/raizn e W = (n-1)S^2sigma^2simchi^2,n-1, . Por definição de T = ZraizW/(n-1) = (bar X-mu)/(sigma/raizn)raizl[(n-1)S^2/sigma^2r]/(n-1) = (bar X - mu),raiznS de Student, se você tem
com , então
segue uma distribuição com graus de liberdade.

Passo 4

Propriedades da de Student com :
  • Média: para .
  • Variância: , válido para (ou seja ).
  • Graus de liberdade: .

Resposta

Distribuição:
Média:
Variância: (para )
Graus de liberdade:

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