Sejam
variáveis aleatórias iid, com distribuição
. Para cada uma das quantidades abaixo, detalhando passo a passo, identifique sua distribuição, média, variância e graus de liberdade quando for o caso.
;
Passo 1
Beleza, vamos do começo: a questão fala de
i.i.d. seguindo
e pede pra gente investigar a distribuição da estatística
onde
O conteúdo é: distribuições amostrais de média e variância em Normal, estatística
de Student, grau de liberdade etc. Vamos precisar usar:
- que
, - que
(ou ) tem distribuição e é independente de , - definição da estatística
.
Passo 2
Primeiro, lembrando a teoria da amostra normal:
-
é normal com média e variância , ou seja - A soma dos quadrados padronizada
segue uma com graus de liberdade.
Também vem de teoria que
e
são independentes quando a população é normal.
Passo 3
Agora montamos a estatística
. Por definição de
de Student, se você tem
com
, então
segue uma distribuição
com
graus de liberdade.
Passo 4
Propriedades da
de Student com
:
- Média:
para . - Variância: , válido para
(ou seja ). - Graus de liberdade:
.
Resposta
Distribuição:
Média:
Variância: (para
)
Graus de liberdade:
Média:
Variância:
Graus de liberdade: