Sejam A=\left(\begin{array}{ccc}1 & 2 & 3 \\\\ 2 & 1 & -1\end{array}\right), B=\left(\begin{array}{ccc}-2 & 0 & 1 \\\\ 3 & 0 & 1\end{array}\right), C=\left(\begin{array}{c}-1 \\\\ 2 \\\\ 4\end{array}\right), D=\binom{-2}{1}, E=\left(\begin{array}{cc}1 & 0 \\\\ 3 & -1 \\\\ 4 & 2\end{array}\right), F=\left(\begin{array}{ll}1 & 0 \\\\ 0 & 1\end{array}\right). Calcule, quando possível:
(a) A+B
(b) A-C
(c) E^{T}+(-A)
(d) C^{T} E-3 D
(e) B+F
(f) C A
(g) C-D+2 E-A^{T}
(h) E F+A^{T}-B^{T}

Passo 1

O enunciado dá seis matrizes
A\in\mathbb{R}^{2\times3},\;B\in\mathbb{R}^{2\times3},\;C\in\mathbb{R}^{3\times1},\;D\in\mathbb{R}^{2\times1},\;E\in\mathbb{R}^{3\times2},\;F\in\mathbb{R}^{2\times2}
e pede várias somas, subtrações, transpostas e produtos. Para somar ou subtrair matrizes é preciso que elas tenham a mesma dimensão; para multiplicar é preciso que o número de colunas da primeira iguale o número de linhas da segunda. Vamos aplicar essas regras em cada item.

Passo 2

(a) Para calcular A+B note que \dim A=2\times3 e \dim B=2\times3, então a soma é possível e faz-se elemento a elemento:
A+B =\begin{pmatrix}1&2&3\\\ 2&1&-1\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}-2&0&1\\\ 3&0&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}1+(-2)&2+0&3+1\\\ 2+3&1+0&-1+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}-1&2&4\\\ 5&1&0\end{pmatrix}.

Passo 3

(b) Para A-C temos \dim A=2\times3 e \dim C=3\times1. Como as dimensões não coincidem, não é possível fazer A-C.

Passo 4

(c) Em E^{T}+(-A) temos
\dim E^{T}=2\times3 e \dim(-A)=2\times3, logo podemos somar. Primeiro as transpostas e o sinal menos:
E^{T} =\begin{pmatrix}1&3&4\\\ 0&-1&2\end{pmatrix}, \qquad -\,A =\begin{pmatrix}-1&-2&-3\\\ -2&-1&1\end{pmatrix}.
Somando:
E^{T}+(-A) =\begin{pmatrix}1-1&3-2&4-3\\\ 0-2&-1-1&2+1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}0&1&1\\\ -2&-2&3\end{pmatrix}.

Passo 5

(d) Para C^{T}E-3D vemos que C^{T}E tem dimensão (1\times3)(3\times2)=1\times2 e 3D tem dimensão 2\times1. As dimensões não batem, então C^{T}E-3D é impossível.

Passo 6

(e) Em B+F temos \dim B=2\times3 versus \dim F=2\times2. As dimensões não coincidem, logo não dá para somar.

Passo 7

(f) Para C\,A a multiplicação exigiria \dim C=(3\times1) e \dim A=(2\times3). Como 1\neq2, o produto não está definido.

Passo 8

(g) Na expressão C-D+2E-A^{T} as dimensões são misturadas: C é 3\times1, D é 2\times1, 2E e A^{T} são 3\times2. Não há compatibilidade para soma/subtração, logo é impossível.

Passo 9

(h) Em E\,F+A^{T}-B^{T} temos
\dim(EF)=(3\times2)(2\times2)=3\times2,
\dim A^{T}=3\times2,
\dim B^{T}=3\times2,
portanto podemos somar e subtrair. Note que F é a identidade 2\times2, então EF=E. Escrevendo
E =\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&-1\\\ 4&2\end{pmatrix}, \quad A^{T} =\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&1\\\ 3&-1\end{pmatrix}, \quad B^{T} =\begin{pmatrix}-2&3\\\ 0&0\\\ 1&1\end{pmatrix},
temos
E\,F+A^{T}-B^{T} =\begin{pmatrix}1&0\\\ 3&-1\\\ 4&2\end{pmatrix} +\begin{pmatrix}1&2\\\ 2&1\\\ 3&-1\end{pmatrix} -\begin{pmatrix}-2&3\\\ 0&0\\\ 1&1\end{pmatrix} =\begin{pmatrix}4&-1\\\ 5&0\\\ 6&0\end{pmatrix}.

Resposta

(a) \displaystyle\begin{pmatrix}-1&2&4\\\ 5&1&0\end{pmatrix}
(b) impossível
(c) \displaystyle\begin{pmatrix}0&1&1\\\ -2&-2&3\end{pmatrix}
(d) impossível
(e) impossível
(f) impossível
(g) impossível
(h) \displaystyle\begin{pmatrix}4&-1\\\ 5&0\\\ 6&0\end{pmatrix}

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