Achar a distância entre as retas r_{1} e r_{2}, nos casos:
(a) r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda, \\\ y=3+\lambda, \\\ z=1-2 \lambda\end{array} \right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda, \\\ y=-1-3 \lambda, \\\ z=2 \lambda\end{array}\right.
(b) r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda+1, \\\ y=\lambda+2, \\\ z=-2 \lambda-2\end{array} \right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda, \\\ y=1+3 \lambda, \\\ z=-4 \lambda\end{array}\right. Rpta: 0
Passo 1
O enunciado pede para calcular a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3, nos casos (a) e (b). O conteúdo é “distância entre retas” e vamos usar a fórmula que envolve um ponto de cada reta, seus vetores diretores e produto vetorial.
Passo 2
Para duas retas \,r_1 com ponto P_1 e vetor diretor d_1
e \,r_2 com ponto P_2 e vetor diretor d_2,
a distância é
d \;=\;\frac{\bigl|(P_2 - P_1)\cdot(d_1 \times d_2)\bigr|}{\bigl\|d_1 \times d_2\bigr\|}.
Passo 3
Caso (a):
Escolhemos P_1=(2,3,1), d_1=(-1,1,-2) e P_2=(0,-1,0), d_2=(1,-3,2).
Calculamos