Achar a distância entre as retas r_{1} e r_{2}, nos casos:
(a) r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=2-\lambda, \\\ y=3+\lambda, \\\ z=1-2 \lambda\end{array} \right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda, \\\ y=-1-3 \lambda, \\\ z=2 \lambda\end{array}\right.
(b) r_{1}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda+1, \\\ y=\lambda+2, \\\ z=-2 \lambda-2\end{array} \right. e r_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=\lambda, \\\ y=1+3 \lambda, \\\ z=-4 \lambda\end{array}\right. Rpta: 0

Passo 1

O enunciado pede para calcular a distância entre duas retas em \mathbb{R}^3, nos casos (a) e (b). O conteúdo é “distância entre retas” e vamos usar a fórmula que envolve um ponto de cada reta, seus vetores diretores e produto vetorial.

Passo 2

Para duas retas
\,r_1 com ponto P_1 e vetor diretor d_1
e \,r_2 com ponto P_2 e vetor diretor d_2,
a distância é
d \;=\;\frac{\bigl|(P_2 - P_1)\cdot(d_1 \times d_2)\bigr|}{\bigl\|d_1 \times d_2\bigr\|}.

Passo 3

Caso (a):
Escolhemos P_1=(2,3,1), d_1=(-1,1,-2) e P_2=(0,-1,0), d_2=(1,-3,2).
Calculamos
d_1 \times d_2 = (-1,1,-2)\times(1,-3,2) = (-4,0,2),
P_2 - P_1 = (0,-1,0) - (2,3,1) = (-2,-4,-1),
(P_2-P_1)\cdot(d_1\times d_2) = (-2,-4,-1)\cdot(-4,0,2) = 6,
e
\|d_1\times d_2\| = \sqrt{(-4)^2+0^2+2^2} = \sqrt{20} = 2\sqrt{5}.
Logo
d_{(a)} = \frac{|6|}{2\sqrt{5}} = \frac{3}{\sqrt{5}}.

Passo 4

Caso (b):
Escolhemos P_1=(1,2,-2), d_1=(1,1,-2) e P_2=(0,1,0), d_2=(1,3,-4).
Calculamos
d_1 \times d_2 = (1,1,-2)\times(1,3,-4) = (2,2,2),
P_2 - P_1 = (0,1,0) - (1,2,-2) = (-1,-1,2),
(P_2-P_1)\cdot(d_1\times d_2) = (-1,-1,2)\cdot(2,2,2) = 0,
portanto
d_{(b)} = \frac{|0|}{\|(2,2,2)\|} = 0.

Resposta

(a) \displaystyle \frac{3}{\sqrt{5}}
(b) 0

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