Dados a reta r e o plano \pi, determinar o valor de m para que a reta seja paralela ao plano nos casos:
(a) r:\left\{\begin{array}{l}x=-3+\lambda, \\\ y=-1+2 \lambda, \\\ z=4 \lambda\end{array}\right.\quad e \pi: m x-y-2 z-3=0.
(b) r:(x, y, z)=(1,2,0)+\lambda(2, m,-1) e \pi: 3 x+2 y+m z=0.

Passo 1

O enunciado pede o valor de m para que uma reta seja paralela a um plano. O conteúdo aqui é a condição de paralelismo entre reta e plano: uma reta de vetor diretor \vec v é paralela ao plano de normal \vec n se, e somente se,
\vec n \cdot \vec v = 0.

Passo 2

No caso (a) a reta é
r:\begin{cases} x=-3+\lambda,\\\ y=-1+2\lambda,\\\ z=4\lambda \end{cases}
portanto seu vetor diretor é \vec v=(1,2,4). O plano \pi tem equação m x - y - 2z -3=0, logo seu vetor normal é \vec n=(m,-1,-2). Impomos
\vec n\cdot\vec v = m\cdot1 + (-1)\cdot2 + (-2)\cdot4 = m -2 -8 = m -10 =0,
daí m=10.

Passo 3

No caso (b) a reta é
(x,y,z)=(1,2,0)+\lambda(2,m,-1),
então \vec v=(2,m,-1). O plano \pi é dado por 3x+2y+mz=0, de modo que
\vec n=(3,2,m). Impomos
\vec n\cdot\vec v =3\cdot2 + 2\cdot m + m\cdot(-1) =6 +2m - m =6 + m =0,
logo m=-6.

Resposta

(a) m=10
(b) m=-6

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