Sejam
e
uma aplicação contínua.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto
pode ser imagem de
.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto
Passo 1
O enunciado define
e uma aplicação contínua
.
Queremos saber se o conjunto
Queremos saber se o conjunto
pode ser igual à imagem
.
Passo 2
Lembrando um resultado básico de análise: se
é compacto e
é contínua, então
é compacto em
. Aqui
é compacto e
é contínua, logo
seria um subconjunto compacto de
.
Passo 3
Vamos checar se
é compacto. Repare que
é não limitado, pois contém pontos para valores de
arbitrariamente grandes. Logo,
não é limitado e, portanto, não é compacto.
é não limitado, pois contém pontos
Passo 4
Como
deve ser compacto e
não é compacto, não há como
mapear
continuamente sobre
.
Resposta
Não, esse conjunto não pode ser a imagem de
.