Sejam S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\right\} e f: S^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma aplicação contínua.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2} \geqslant 1\right\} \cap\{(x, 0): x \in \mathbb{R}\} pode ser imagem de f.

Passo 1

O enunciado define
S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\} e uma aplicação contínua
f\colon S^{1}\to\mathbb{R}^{2}.
Queremos saber se o conjunto
A=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}\ge1\}\cap\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}
pode ser igual à imagem f(S^{1}).

Passo 2

Lembrando um resultado básico de análise: se X é compacto e g\colon X\to Y é contínua, então g(X) é compacto em Y. Aqui S^{1} é compacto e f é contínua, logo f(S^{1}) seria um subconjunto compacto de \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Vamos checar se A é compacto. Repare que
\;A=\{(x,0):|x|\ge1\}
é não limitado, pois contém pontos (x,0) para valores de x arbitrariamente grandes. Logo, A não é limitado e, portanto, não é compacto.

Passo 4

Como f(S^{1}) deve ser compacto e A não é compacto, não há como f mapear S^{1} continuamente sobre A.

Resposta

Não, esse conjunto não pode ser a imagem de f.

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