Para cada item, determine se o vetor dado é combinação linear dos vetores v_{1}, v_{2} e v_{3}, onde
\[v_{1}=(1,0,0,1), v_{2}=(1,-1,0,0) \text { e } v_{3}=(0,1,2,1) .\] (a) \(\mathrm{v}=(-1,4,2,3)
(b) \mathrm{v}=(1,2,0,1)
(c) (-1,1,4,3)
(d) (0,1,1,-1))

Passo 1

O enunciado pede verificar para cada vetor \mathbf{v}=(x,y,z,w) se existe escalares a,b,c tais que
\mathbf{v}=a\,v_{1}+b\,v_{2}+c\,v_{3},
onde
v_{1}=(1,0,0,1),\quad v_{2}=(1,-1,0,0),\quad v_{3}=(0,1,2,1).
Para isso vamos montar um sistema linear e achar uma condição que nos diga quando há solução.

Passo 2

Escrevendo coordenada a coordenada,
a+b = x,
-b+c = y,
2c = z,
a+c = w.
Dessas equações segue
c = \frac{z}{2},\quad b = c - y,\quad a = x - b,
e impondo a+c=w obtemos
(x - b)+c = w \quad\Longrightarrow\quad x + y = w.
Logo, um vetor (x,y,z,w) está no span de v_{1},v_{2},v_{3} se e somente se
w = x + y.

Passo 3

Agora aplicamos w = x + y a cada caso:
(a) \mathbf{v}=(-1,4,2,3): -1+4=3=w, ok.
(b) \mathbf{v}=(1,2,0,1): 1+2=3\neq1=w, não.
(c) \mathbf{v}=(-1,1,4,3): -1+1=0\neq3=w, não.
(d) \mathbf{v}=(0,1,1,-1): 0+1=1\neq-1=w, não.

Passo 4

Só no item (a) há combinação. Vamos achar a,b,c:
c = \frac{z}{2} = \frac{2}{2} = 1,
b = c - y = 1 - 4 = -3,
a = x - b = -1 -(-3) = 2.
Portanto
(-1,4,2,3) = 2\,v_{1} \;-\;3\,v_{2} \;+\;1\,v_{3}.

Resposta

(a) Sim. \,(-1,4,2,3)=2v_{1}-3v_{2}+v_{3}.
(b) Não.
(c) Não.
(d) Não.

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