Sejam
e
uma aplicação contínua.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto
pode ser imagem de
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto
Passo 1
O enunciado diz que temos a esfera unidimensional
e uma aplicação contínua . Pergunta-se se o conjunto
e uma aplicação contínua
pode ser igual à imagem
.
Passo 2
Lembramos que
é um espaço conectado e compacto. Pela continuidade de
, sua imagem
também é conectada e compacta em
.
Passo 3
Vamos analisar a forma de
Esse é o união de dois intervalos fechados disjuntos no eixo
: um de
a
e outro de
a
. Logo
não é conectado (há uma lacuna entre
e
).
Passo 4
Como
deve ser conectado, ele não pode coincidir com um conjunto desconectado como
.
Resposta
Não, esse conjunto não pode ser imagem de
.