Sejam S^{1}=\left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: x^{2}+y^{2}=1\right\} e f: S^{1} \rightarrow \mathbb{R}^{2} uma aplicação contínua.
Nesse contexto, avalie as afirmações a seguir.
O conjunto \left\{(x, y) \in \mathbb{R}^{2}: 1 \leqslant x^{2}+y^{2} \leqslant 2\right\} \cap\{(x, 0): x \in \mathbb{R}\} pode ser imagem de f

Passo 1

O enunciado diz que temos a esfera unidimensional
\,S^{1}=\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:x^{2}+y^{2}=1\}
e uma aplicação contínua f\colon S^{1}\to\mathbb{R}^{2}. Pergunta-se se o conjunto
C \;=\;\{(x,y)\in\mathbb{R}^{2}:1\le x^{2}+y^{2}\le2\}\;\cap\;\{(x,0):x\in\mathbb{R}\}
pode ser igual à imagem f(S^{1}).

Passo 2

Lembramos que S^{1} é um espaço conectado e compacto. Pela continuidade de f, sua imagem f(S^{1}) também é conectada e compacta em \mathbb{R}^{2}.

Passo 3

Vamos analisar a forma de
C=\{(x,0)\in\mathbb{R}^{2}:1\le x^{2}\le2\} =\bigl\{(x,0):-\sqrt2\le x\le-1\bigr\}\,\cup\,\bigl\{(x,0):1\le x\le\sqrt2\bigr\}.
Esse é o união de dois intervalos fechados disjuntos no eixo x: um de -\sqrt2 a -1 e outro de 1 a \sqrt2. Logo C não é conectado (há uma lacuna entre -1 e 1).

Passo 4

Como f(S^{1}) deve ser conectado, ele não pode coincidir com um conjunto desconectado como C.

Resposta

Não, esse conjunto não pode ser imagem de f.

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